2022年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第3讲 导数的概念及其简单应用 文

2022年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第3讲 导数的概念及其简单应用 文 导数的几何意义及导数的运算1.(xx河南洛阳市统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于P点,若lm,则P点的坐标可能是(B)(A) (-,-)(B) (,)(C) (,) (D) (-,-)解析:由lm可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于P点,也就是函数在P点的导数值为2,而y=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中P点不在函数图象上,因此选择B.2.(xx江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .解析:易知y=2ax-.根据题意有解得故a+b=-3.答案:-33.(xx吉林实验中学二模)已知函数f(x)=2aex(a0,e为自然对数的底数)的图象与直线x=0的交点为M,函数g(x)=ln(a0)的图象与直线y=0的交点为N,|MN|恰好是点M到函数g(x)=ln(a0)图象上任意一点的线段长的最小值,则实数a的值是.解析:由已知得M(0,2a),N(a,0),因为g(x)=,则g(x)在x=a处的切线斜率为,若|MN|恰好是点M到函数g(x)=ln(a0)图象上任意一点的线段长的最小值,则=-1,解得a=2.答案:2 利用导数研究函数的单调性4.(xx辽宁沈阳市质量监测一)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)1,f(0)=4,则不等式f(x)+1(e为自然对数的底数)的解集为(A)(A)(0,+) (B)(-,0)(3,+)(C)(-,0)(0,+)(D)(3,+)解析:不等式f(x)+1,可以转化为exf(x)-ex-30,令g(x)=exf(x)-ex-3,所以g(x)=ex(f(x)+f(x)-ex=ex(f(x)+f(x)-1)0,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)0x0,即不等式的解集是(0,+).5.(xx兰州高三诊断)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为(B)(A)(-2,+)(B)(0,+)(C)(1,+)(D)(4,+)解析:因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,所以f(4)=f(0)=1.设g(x)=(xR),则g(x)=.又因为f(x)f(x),所以g(x)0(xR),所以函数g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)exg(x)=1,而g(0)=1,所以f(x)exg(x)0.故选B.6.(xx贵州适应性考试)设函数f(x)=ax-sin x,x0,(1)当a=时,求f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)1-cos x恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,f(x)=-cos x,由f(x)0得x;由f(x)0得0x,所以f(x)在(,上是增函数,f(x)在0, )上是减函数.(2)f(x)1-cos x1-cos x+sin x-ax0.设g(x)=1-cos x+sin x-ax,x0,.g(x)=sin x+cos x-a=sin(x+)-a.显然g(x)在0, 上单调递增;在,上单调递减,又g(0)=1-a,g()=-a,g()=-1-a.当x0,时,讨论如下:若a-1时,g(x)0,g(x)在x0,上是增函数,此时,g(x)g(0)=0,1-cos x+sin x-ax0成立.若a时,g(x)0,g(x)在x0,上是减函数;此时,g(x)g(0)=0,1-cos x+sin x-ax0不恒成立;若1a时,由g(0)0,可知存在x0(0, ),使得g(x0)=0.当x(0,x0)时,g(x)0,g(x)是减函数,有g(x)g(0)=0,1-cos x+sin x-ax0不成立;若-1a1时,由g()=g(0)=1-a0,g()0, g(x)是增函数;当x(x1,)时,g(x)0,g(x)是减函数,要使1-cos x+sin x-ax0在x0,上恒成立,当且仅当得-11,存在实数a,b满足0ab1时函数f(x)g(x)恒成立,即等价于k1).令h(x)=,h(x)=.令h(x)=0,即有ln x=x-2,注意到ln 33-2;ln 44-2,故存在x0(3,4),使得当x(1,x0)时h(x)0.故当x=x0时函数h(x)=有极小值也是最小值h(x0)=x0,所以kx0,所以k3即k的最大值为3.答案:38.(xx黑龙江大庆二模)已知函数f(x)=(ax-2)ex在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)求函数f(x)在m,m+1上的最小值;(3)求证:对任意x1、x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|e.解:(1)f(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex,由已知得f(1)=0,即(2a-2)e=0,解得a=1,验证知,当a=1时,在x=1处函数f(x)=(x-2)ex取得极小值,所以a=1;(2)f(x)=(x-2)ex,f(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.x(-,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)减增所以函数f(x)在(-,1)上递减,在(1,+)上递增.当m1时,f(x)在m,m+1上单调递增,f(x)min=f(m)=(m-2)em.当0m1时,m1m+1,f(x)在m,1上单调递减,在1,m+1上单调递增,f(x)min=f(1)=-e.当m0时,m+11,f(x)在m,m+1单调递减,f(x)min=f(m+1)=(m-1)em+1.综上,f(x)在m,m+1上的最小值f(x)min=(3)由(1)知f(x)=(x-2)ex,f(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.令f(x)=0得x=1,因为f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0,所以f(x)max=0,f(x)min=-e,所以对任意x1,x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=e. 一、选择题1.(xx黑龙江大庆二模)已知函数f(x)=x3-2x2+3x+,则与f(x)图象相切的斜率最小的切线方程为(B)(A)2x-y-3=0(B)x+y-3=0(C)x-y-3=0(D)2x+y-3=0解析:f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1.因为当x=2时,f(x)取到最小值为-1.所以f(x)=x3-2x2+3x+的切线中,斜率最小的切线方程的斜率为-1因为f(2)=1,所以切点坐标为(2,1),所以切线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.2.(xx岳阳模拟)若f(x)=x3+x2+4x-1,其中0,则导数f(-1)的取值范围是(A)(A)3,6 (B)3,4+(C)4-,6(D)4-,4+解析:因为f(x)=sin x2+cos x+4,所以f(-1)=sin -cos +4=2sin (-)+4.又0, ,所以2sin(-)-1,2,故f(-1)3,6.故选A.3.(xx内江模拟)已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则实数c的取值范围为(A)(A)c解析:由题意知f(x)=x2-x+c.因为函数f(x)有极值,所以=1-4c0,解得c.故选A.4.(xx广东潮州市二模)已知奇函数y=f(x)的导函数f(x)0在R恒成立,且x,y满足不等式f(x2-2x)+f(y2-2y)0,则的取值范围是(A)(A)0,2(B)0, (C)1,2 (D),2解析:因为函数为奇函数,所以f(x2-2x)f(2y-y2).由函数y=f(x)的导函数f(x)0时,有xf(x)-f(x)0成立,则不等式f(x)0的解集是(A)(A)(-1,0)(1,+)(B)(-1,0)(C)(1,+) (D)(-,-1)(1,+)解析:构造函数h(x)=,x0,则h(x)=0,x0,所以h(x)是(0,+)上过点(1,0)的增函数.所以当x(0,1)时0,从而得f(x)0,从而得f(x)0.由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以不等式f(x)0的解集为(-1,0)(1,+),故选A.6.(xx黄冈市三模)已知函数f(x)=a(x-)-2ln x(aR),g(x)=-,若至少存在一个x01,e,使得f(x0)g(x0)成立,则实数a的范围为(D)(A)1,+)(B)(1,+)(C)0,+)(D)(0,+)解析:设h(x)=f(x)-g(x)=ax-2ln x,则h(x)=a-.若a0,则h(x)0,即f(x0)g(x0)成立;若a0,则由h(1)=a0知,总存在x0=1使得f(x0)g(x0)成立.故实数a的范围为(0,+).7.(xx贵州遵义市第二次联考)已知函数f(x)=x3-6x2+9x-abc,其中0ab0 (B)f(0)f(1)f(3)0(C)f(0)f(1)f(3)0解析:f(x)=3x2-12x+9,由f(x)=0得x1=3,x2=1.又因为f(a)=f(b)=f(c)=0,0abc,所以a(0,1),b(1,3),c(3,+),f(0)0,f(3)0.8.(xx江西赣州高三摸底)已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在-1,1的最小值为-3,则实数a的取值范围是(D)(A)(-,-1(B)12,+)(C)-1,12(D)-,12解析:当a=0时,f(x)=-3x,x-1,1,显然满足,故a=0,排除A,B;当a=-时,f(x)=x3-x,f(x)=x2-=(x2-1),所以f(x)在-1,1上递减,所以f(x)min=f(1)=-=-3,满足条件,排除C,故选D.9.(xx鄂尔多斯市模拟)已知函数f(x)=(x2-2x)ex,x-2,+),f(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)有两个零点x1和x2(x10得-2x;由f(x)0得-xf()=(2-2),所以f(x)的最小值为f(),即f(x2).10.(xx邢台市二模)已知函数f(x)=(aR),若对于任意的xN*,f(x)3恒成立,则a的最小值等于(A)(A)- (B)-3(C)-4+3(D)-6解析:xN*时,不等式f(x)3可化为a-x-+3,设h(x)=-x-+3,则h(x)=-1+=,当x(0,2)时,h(x)0,当x(2,+)时,h(x)0,所以xN*时,h(x)max=h(2),h(3)max=-,所以xN*,f(x)3恒成立,只需a-即可.11.(xx东北三省三校第一次联合模拟)若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+)上为增函数,则实数m的取值范围是(D)(A)(-,2)(B)(-,2(C) (-, )(D) (-, 解析:f(x)=6x2-6mx+6,所以当=(6m)2-4660,即-2m0恒成立,此时f(x)在R上为增函数,符合条件;当m-2或m2时,由6x2-6mx+60,得(x-)2,即x+或x-+.又因为f(x)在区间(2,+)上为增函数,所以+2,解得m-2或2m.综上得,m.故选D.12.(xx吉林实验中学二模)设f(x)=x3+bx2+cx+d,又k是一个常数,已知当k4时,f(x)-k=0只有一个实根;当0k0,即当ab,该函数有两个极值点,a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数的基本事件有9种,满足ab的基本事件有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6种,故函数有两个极值点的概率为P=.答案:15.(xx武汉模拟)若函数f(x)=-ln x在区间(2,+)上单调递减,则实数k的取值范围是.解析:因为f(x)=-ln x,所以f(x)=-=-,函数f(x)=-ln x在区间(2,+)上单调递减,所以f(x)=-0在x(2,+)上恒成立,即在x(2,+)上,x+k0,所以2+k0,所以k-2.答案:-2,+)16.(xx荆门模拟)若函数f(x)=x2-ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.解析:f(x)=x2-ln x+1的定义域为(0,+),f(x)=2x-=;因为函数f(x)=x2-ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,所以f(x)=2x-=在区间(a-1,a+1)上有零点;而f(x)=2x-=的零点为,故(a-1,a+1),故a-1a+1,解得-a0或f(x)0或f(x)0或f(x)0及方程f(x)=0均不可解时求导数并化简,根据f(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f(x)的符号,得单调区间.(2)求函数f(x)极值的方法确定函数f(x)的定义域.求导函数f(x).求方程f(x)=0的根.检查f(x)在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果f(x)在这个根的左右两侧符号不变,则f(x)在这个根处没有极值.1.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+1,0a1.(1)求函数f(x)的极大值;(2)若x1-a,1+a时,恒有-af(x)a成立(其中f(x)是函数f(x)的导函数),试确定实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)=-x2+4ax-3a2,0a0时,得ax3a;当f(x)0时,得x3a;所以f(x)的单调递增区间为(a,3a);f(x)的单调递减区间为(-,a)和(3a,+).故当x=3a时,f(x)有极大值,其极大值为f(3a)=1.(2)因为f(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-2a)2+a2,当0a2a,所以f(x)在区间1-a,1+a内单调递减.所以f(x)max=f(1-a)=-8a2+6a-1,f(x)min=f(1+a)=2a-1.因为-af(x)a,所以此时,a.当a0,所以f(x)=.又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x-y-1=0平行,所以f(1)=1-a=1,即a=0.(2)解:令f(x)=0,得x=e,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)极大值由表可知,f(x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+),所以f(x)在x=e处取得极大值,f(x)极大值=f(e)=.(3)证明:当a=1时,f(x)=,由于x1,+),要证f(x)=1,只需证明ln x+1x,令h(x)=x-ln x-1,则h(x)=1-=.因为x1,所以h(x)0,故h(x)在1,+)上单调递增,当x1时,h(x)h(1)=0,即ln x+1x成立,故当x1时,有1,即f(x)1.3.(xx贵州遵义市第二次联考)已知函数f(x)=x-aln x,g(x)=-(aR).(1)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间;(3)若在1,e(e=2.718)上存在x0,使得f(x0)0,即a-1时,在(0,1+a)上,h(x)0,所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+)上单调递增;当a+10,即a-1时,在(0,+)上h(x)0,所以函数h(x)在(0,+)上单调递增.(3)在1,e上存在x0,使得f(x0)g(x0)成立,即在1,e上存在x0,使得h(x0)0,即函数h(x)=x+-aln x在1,e上的最小值小于零.由(2)可知,当a+1e,即ae-1时,h(x)在1,e上单调递减,所以h(x)的最小值为h(e),由h(e)=e+-a,因为e-1,所以a;当a+11,即a0时,h(x)在1,e上单调递增,所以h(x)最小值为h(1),由h(1)=1+1+a0可得a-2;当1a+1e,即0ae-1时,可得h(x)最小值为h(1+a)=2+a-aln (1+a),因为0ln (1+a)1,所以0aln (1+a)2,此时不存在x0使h(x0)或a0.所以不存在实数m,使得APB为直角.(3)f(x)=m(lnx-3)+(mx+1)=,若函数f(x)在(0,+)上是增函数,则f(x)0在(0,+)上恒成立,有mx(ln x-2)+10在(0,+)上恒成立,设h(x)=x(ln x-2),h(x)=ln x-1,h(x)在(0,e)是减函数,在(e,+)是增函数,所以h(x)的值域为-e,+),即mt+10在-e,+)上恒成立.有解得0m. 类型:利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题1.设函数f(x)=ax2ln x+b(x-1)(x0),曲线y=f(x)过点(e,e2-e+1),且在点(1,0)处的切线方程为y=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x1时,f(x)(x-1)2;(3)若当x1时,f(x)m(x-1)2恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=2axln x+ax+b,因为f(1)=a+b=0,f(e)=ae2+b(e-1)=a(e2-e+1)=e2-e+1所以a=1,b=-1.(2)f(x)=x2ln x-x+1,设g(x)=x2ln x+x-x2(x1),g(x)=2xln x-x+1(g(x)=2ln x+10,所以g(x)在1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=0,所以g(x)在1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=0.所以f(x)(x-1)2.(3)设h(x)=x2ln x-x-m(x-1)2+1,h(x)=2xln x+x-2m(x-1)-1,由(2)中知x2ln x(x-1)2+x-1=x(x-1),所以xln xx-1,所以h(x)3(x-1)-2m(x-1),当3-2m0即m时,h(x)0,所以h(x)在1,+)单调递增,所以h(x)h(1)=0成立.当3-2m时,h(x)=2xln x+(1-2m)(x-1),(h(x)=2ln x+3-2m,令(h(x)=0,得x0=1,当x1,x0)时,h(x)h(1)=0,所以h(x)在1,x0)上单调递减,所以h(x)0,即exsin(x+)0,也就是sin(x+)0,解得2k-x0,又因为ex0,所以f(x)0,即f(x)在0,)单调递增;当x+(,即x(,时,sin(x+)0,所以f(x)0,即f(x)在(,单调递减.故f(x)在0,上的最大值为f()=sin =,又f(0)=e0sin 0=0;f()=esin =0.故f(x)在0,上的最小值为0.3.已知曲线f(x)=a(x-1)2+bln x(a,bR)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1.(1)若函数f(x)在2,+)上为减函数,求a的取值范围;(2)当x1,+)时,不等式f(x)x-1恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)=2ax-2a+,由题知f(1)=b=1,即f(x)=a(x-1)2+ln x,f(x)=2ax-2a+=,由f(x)在2,+)上单调递减,则f(x)0在2,+)上恒成立,即2ax2-2ax+10在2,+)上恒成立,2a=-,所以a的取值范围是(-,-.(2)令g(x)=f(x)-x+1=a(x-1)2+ln x-x+1,则g(x)0在1,+)上恒成立,g(x)=2ax-2a+-1=,当2a0,即a0时,g(x)0,g(x)在1,+)上单调递减,则g(x)g(1)=0,符合题意;当01时,g(x)g(1)=0,矛盾;当1时,g(x)在1, )上单调递减, (,+)上单调递增,而g(+1)=ln(+1)0,矛盾;综上,a的取值范围是(-,0.4.已知f(x)=x2+ax-ln x(aR).(1)若a=0时,求函数y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)在1,2上是减函数,求实数a的取值范围;(3)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x(0,e(e是自然对数的底数)时,函数g(x)的最小值是3.若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:(1)当a=0时,f(x)=x2-ln x,所以f(x)=2x-,所以f(1)=1,f(1)=1,函数y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x-y=0.(2)函数f(x)在1,2上是减函数,所以f(x)=2x+a-=0在1,2上恒成立,令h(x)=2x2+ax-1,有得所以a-.(3)假设存在实数a,使g(x)=ax-ln x在x(0,e上的最小值是3,g(x)=a-=.当a0时,g(x)0且e时,即0a,g(x)0且时,令g(x)0,得0x0,得xe,所以g(x)在(0, )上单调递减,在(,e上单调递增,所以g(x)min=g()=1+ln a=3,a=e2满足条件,综上所述,存在实数a=e2,使g(x)=ax-ln x在x(0,e上的最小值是3.