2022年高考数学大一轮复习 第七章 立体几何单元质量检测 理

2022年高考数学大一轮复习 第七章 立体几何单元质量检测 理一、选择题(每小题4分，共40分)1以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆答案：A2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B.C8 D.解析：S圆r2r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，所以球的半径为R.所以VR3，故选B.答案：B3设、是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A若，则B若m，n，则mnC若，m，则mD若，m，m，则m解析：对于A，若，可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m，n，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若，m，则m可以在平面内，C错；易知D正确答案：D4一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A7 B.C. D.解析：依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为232111.答案：D5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.答案：C6如图所示，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A. B.C. D.解析：连接AC，BD交于点O，连接OE，易得OEPA，所以所求角为BEO.由所给条件易得OB，OEPA，BE.所以cosOEB，所以OEB60，选C.答案：C7如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中给出下列三个命题：点M到AB的距离为；三棱锥CDNE的体积是；AB与EF所成的角是其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为MC，正确；而VCDNE111，正确；AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，正确答案：D8正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为()A.B. C.D.解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案：C9正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0)，F(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0，2)，G.(2,0，1)，(1,0,1)，.设平面GEF的一个法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则sin|cosn，|.答案：A10如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是()AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面解析：连接B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綊AC，而B1B平面ABCD，所以B1BAC，所以B1BEF，A正确；又ACBD，所以EFBD，B正确；显然EF与CD异面，C正确；由EF綊AC，ACA1C1，得EFA1C1，故不成立的选项为D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是底边长为4，高为2的等腰三角形，棱锥的高为2，故体积为V422.答案：12已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为_解析：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以2R，R，则球的表面积为S4R242.答案：213三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析：由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连接CE，(如图)可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，正确答案：14如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G为BC的中点，K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，此时KG的长为_解析：如图，过K作KMEF，垂足M为EF的中点，则向量与的夹角为120，60.又，222211211cos603.|.答案：三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)15(10分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥EABC组合而成，点A，B，C在圆O的圆周上，其正(主)视图，侧(左)视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA平面ABC，ABAC，ABAC，AE2.(1)求证：ACBD.(2)求三棱锥EBCD的体积解：(1)因为EA平面ABC，AC平面ABC，所以EAAC，即EDAC.又因为ACAB，ABEDA，所以AC平面EBD.因为BD平面EBD，所以ACBD.(2)因为点A，B，C在圆O的圆周上，且ABAC，所以BC为圆O的直径设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正(主)视图，侧(左)视图的面积可得，解得所以BC4，ABAC2.以下给出求三棱锥EBCD体积的两种方法：方法1：由(1)知，AC平面EBD，所以VEBCDVCEBDSEBDCA，因为EA平面ABC，AB平面ABC，所以EAAB，即EDAB.其中EDEADA224，因为ABAC，ABAC2，所以SEBDEDAB424，所以SEBCD42.方法2：因为EA平面ABC，所以VEBCDVEABCVDABCSABCEASABCDASABCED.其中EDEADA224，因为ABAC，ABAC2，所以SABCACAB224，所以VEBCD44.16(10分)如图，ABAD，BAD90，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边BCD沿BD折叠成BCD的位置，使得ADCB.(1)求证：平面GNM平面ADC.(2)求证：CA平面ABD.证明：(1)因为M，N分别是BD，BC的中点，所以MNDC.因为MN平面ADC，DC平面ADC，所以MN平面ADC.同理NG平面ADC.又因为MNNGN，所以平面GNM平面ADC.(2)因为BAD90，所以ADAB.又因为ADCB，且ABCBB，所以AD平面CAB.因为CA平面CAB，所以ADCA.因为BCD是等边三角形，ABAD，不妨设AB1，则BCCDBD，可得CA1.由勾股定理的逆定理，可得ABCA.因为ABADA，所以CA平面ABD.17(12分)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由解：(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.因为EODO0.所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin|cos，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：由，F，所以，(1,1,0)设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则有所以取a1，得v(1,1,2)因为v(1,1，1)(1,1,2)0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD，即点F满足时，有EC平面FBD.18(12分)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1.(1)求证：平面DAF平面BCF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60？解：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，又BFCBB，AF平面CBF.AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF，FB为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H.已知AB2，EF1，则AH.在RtAFB中，根据射影定理得AF2AHAB，AF1，sinABF，ABF30.直线AB与平面CBF所成角的大小为30.(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)设ADt(t0)，则点D的坐标为(1,0，t)，C(1,0，t)，又A(1,0,0)，B(1,0,0)，F，(2,0,0)，设平面DCF的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10.即，令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知AF平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2，依题意，n1与n2的夹角为60.cos60，即，解得t.因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60.