2022年高二上学期期末数学试卷（理科） 含解析(II)

2022年高二上学期期末数学试卷（理科） 含解析(II)一选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1复数（i是虚数单位）的虚部是（）ABCD2定积分（2x+sinx）dx等于（）A0BCD3已知命题p：xR，ex+x3+2x2+40，则p为（）Ax0R，使得lnx0+x03+2x02+4=0Bx0R，使得ex0+x03+2x02+40CxR，使得ex+x3+2x2+4=0Dx0R，使得ex0+x03+2x02+4=04用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点5已知直线x+ay=a+2（aR）与圆x2+y22x2y7=0交于M，N两点，则线段MN的长的最小值为（）ABC2D6（x+8）（3x）0的一个充分不必要条件是（）A8x3Bx8Cx3Dx8或x37给出以下五个结论：经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为；以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）=0；平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；平面上到两个定点F1，F2的距离的差为常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹是双曲线；平面上到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线其中正确结论有（）A4个B3个C2个D1个8i是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，且a+（b1）i0（a，bR），复数z满足|z|=3，则|z+abi|的最大值为（）ABCD9在平行四边形ABCD中，已知C（3，0），D（3，0），点E，F满足，且，则点A的轨迹方程是（）AB =1（x2）CD =1（x3）10棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在平面ABCD上，满足PC1=3PA，则点P的轨迹为（）A直线B一段圆弧C椭圆D圆11点P（1，t）（t0）是椭圆上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72和108，则直线AB的斜率为（）A或Btan18CDtan3612观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为（）ABCD二填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13设等差数列an的前n项和为Sn，若S8=3，则a2+a3+a6+a7=_14已知函数f（x）=exax在（3，+）单调递增，则实数a的取值范围是_15正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，己知AA1=8，点E，F分别的棱BB1，CC1上，且满足AB=BE=3，FC1=2，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于_16设F是椭圆C： =1（ab0）的左焦点，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，分别过A，B作椭圆C的切线并相交于点P，线段OP（O为坐标原点）交椭圆C于点Q，满足，且，则椭圆C的离心率为_三解答题（本题共6个小题，共70分要求每道题都必须写出必要的过程）17已知函数f（x）=ex（x23）（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值18在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积19数列an满足，且a1=2（1）写出a2，a3，a4的值；（2）归纳猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）设，求数列bn的前n项和Tn20如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，且PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3（1）求异面直线PB与CM所成的角的余弦值；（2）求直线AC与平面PCM所成的角的正切值21已知A（0，1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|以D（1，1）为圆心的D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|（1）求椭圆C的标准方程；（2）求圆心D到直线MN的距离d的值22已知函数f（x）=xlnx3x+8（1）求函数y=f（x）在e，e3（e是自然对数的底数）的值域；（2）设0ab，求证：参考答案与试题解析一选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1复数（i是虚数单位）的虚部是（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：复数=复数（i是虚数单位）的虚部是：故选：B2定积分（2x+sinx）dx等于（）A0BCD【考点】定积分【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（2x+sinx）dx=（x2cosx）|=0，故选：A3已知命题p：xR，ex+x3+2x2+40，则p为（）Ax0R，使得lnx0+x03+2x02+4=0Bx0R，使得ex0+x03+2x02+40CxR，使得ex+x3+2x2+4=0Dx0R，使得ex0+x03+2x02+4=0【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：xR，ex+x3+2x2+40，则p为：xR，使得ex+x3+2x2+4=0故选：C4用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点【考点】反证法的应用【分析】“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出结论即可【解答】解：至少有两个”的反面为“最多有一个”，应假设：曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点故选：B5已知直线x+ay=a+2（aR）与圆x2+y22x2y7=0交于M，N两点，则线段MN的长的最小值为（）ABC2D【考点】直线与圆的位置关系【分析】把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|MN|的最小值【解答】解：圆x2+y22x2y7=0，即（x1）2+（y1）2=9，表示以C（1，）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大直线x+ay=a+2（aR）恒过定点（2，1），弦心距d的最大值为1，|MN|的最小值为2=4，故选：A6（x+8）（3x）0的一个充分不必要条件是（）A8x3Bx8Cx3Dx8或x3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由（x+8）（3x）0解得x3或x8即可判断出结论【解答】解：由（x+8）（3x）0解得x3或x8（x+8）（3x）0的一个充分不必要条件是x8故选：B7给出以下五个结论：经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为；以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）=0；平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；平面上到两个定点F1，F2的距离的差为常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹是双曲线；平面上到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线其中正确结论有（）A4个B3个C2个D1个【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用直线、圆的方程，椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论【解答】解：经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为（x1x2，y1y2），不正确；以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）=0，正确；平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹是椭圆，不正确；平面上到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹是双曲线，不正确；当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以不正确故选：D8i是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，且a+（b1）i0（a，bR），复数z满足|z|=3，则|z+abi|的最大值为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由题意求出a，b的值，然后数形结合求得答案【解答】解：（12i）（a+i）=（a+2）+（12a）i为纯虚数，a=2，又a+（b1）i0（a，bR），b=1，则a+bi=2+i，|z+abi|=|z（2+i）|，又|z|=3，如图：|z+abi|的最大值为3+故选：C9在平行四边形ABCD中，已知C（3，0），D（3，0），点E，F满足，且，则点A的轨迹方程是（）AB =1（x2）CD =1（x3）【考点】轨迹方程【分析】设A（x，y），则E（， y），F（， y），利用，建立方程，化简即可点A的轨迹方程【解答】解：设A（x，y），则E（， y），F（， y），=4，化简得=1（x3），故选：D10棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在平面ABCD上，满足PC1=3PA，则点P的轨迹为（）A直线B一段圆弧C椭圆D圆【考点】轨迹方程【分析】在底面上建立平面直角坐标系，设出P的坐标，写出点的坐标，根据正方体的性质，利用PC1=3PA，两点之间的距离公式，整理出关于x，y的方程，结果是一个圆【解答】解：建立如图所示设P（x，y，0），A（0，0，0），C1（1，1，1）PC1=3PA，（x1）2+（y1）2+1=9x2+9y2，化简得（x）2+（y）2=故P点轨迹是圆故选：D11点P（1，t）（t0）是椭圆上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72和108，则直线AB的斜率为（）A或Btan18CDtan36【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】将P（1，t）代入椭圆方程，求得t值，设PB的直线方程为y=k（x1），与椭圆C联立方程组，求出B点坐标；再设PA的直线方程为y=k（x1），与椭圆C联立方程组，求出A点坐标，由此能求出直线AB的斜率【解答】解：将P（1，t）（t0）代入椭圆方程，解得：t=，则P（1，），设PB的直线方程为y=k（x1），将直线方程代入椭圆方程，（3+4k2）x2+4k（32k）x+4（k）212=0，设A（xA，yA），则xA+1=，xA=，yA=k（xA1）+=kxAk+，又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以k代k，设B（xB，yB），可得xB=，yB=k（xA1）+=kxB+k+，直线AB的斜率为kAB=，=，直线AB的斜率为故选：C12观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为（）ABCD【考点】归纳推理【分析】根据已知式子寻找右端分母与左侧最后一个分母的关系，分子与分母的关系，得出规律【解答】解： =，=，=，=，由上述式子可发现如下规律：（1）各式右端分母为左端最后一个分母底数与其相邻整数的乘积的2倍（2）相邻两项分子的差为以5为公差的等差数列，照此规律可以得到： =故选A二填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13设等差数列an的前n项和为Sn，若S8=3，则a2+a3+a6+a7=【考点】等差数列的前n项和【分析】等差数列an的前n项和为Sn，S8=3，可得a1+a8，再利用a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）即可得出【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，S8=3，=3，解得a1+a8=则a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）=2=故答案为：14已知函数f（x）=exax在（3，+）单调递增，则实数a的取值范围是（，e3【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】函数f（x）=exax在区间（1，+）上单调递增函数f（x）=exa0在区间（1，+）上恒成立，aexmin在区间（1，+）上成立【解答】解：f（x）=exa，函数f（x）=exax在区间（3，+）上单调递增，函数f（x）=exa0在区间（3，+）上恒成立，aexmin在区间（3，+）上成立而exe3，ae3故答案为：（，e315正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，己知AA1=8，点E，F分别的棱BB1，CC1上，且满足AB=BE=3，FC1=2，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于【考点】二面角的平面角及求法【分析】建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面AEF与平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】解：建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：AA1=8，AB=BE=3，FC1=2，A（0，0，0），B（3，0，0），E（3，0，3），F（3，3，6），则平面ABC的一个法向量=（0，0，1），设平面AEF的法向量为为=（x，y，z），则=（3，0，3），=（3，3，6），由得，即，令x=1，则z=1，y=1，则=（1，1，1），cos，=，面AEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos=，则sin=，则tan=，故答案为：16设F是椭圆C： =1（ab0）的左焦点，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，分别过A，B作椭圆C的切线并相交于点P，线段OP（O为坐标原点）交椭圆C于点Q，满足，且，则椭圆C的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由，可取Q，由于，可得P设A（x1，y1），B（x2，y2），可得过点A，B的切线方程分别为： =1， +=1联立解得P设直线AB的方程为：y=k（x+c），可得xP=，于是=，即可得出【解答】解：，可取Q，满足，=，P设A（x1，y1），B（x2，y2），可得过点A，B的切线方程分别为： =1， +=1联立解得P设直线AB的方程为：y=k（x+c），xP=，=，解得e=故答案为：三解答题（本题共6个小题，共70分要求每道题都必须写出必要的过程）17已知函数f（x）=ex（x23）（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导，f（0）=3，直线斜率为3，且过点（0，3），利用点斜式方程，求得切线方程；（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值【解答】解：（1）函数f（x）=ex（x23），则f（x）=ex（x2+2x3）=ex（x+3）（x1），故f（0）=3，又f（0）=3，故曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为：y+3=3x，即3x+y+3=0；（2）由（1）知f（x）=0可得：x=1或x=3，如下表：令f（x）0，解得：x3或x1；此时函数单调递增；令f（x）0，解得3x1，此时函数单调递递减x（，3）3（3，1）1（1，+） f（x）+ 00+f（x）递增极大值递减极小值递增当x=3时取极大值，极大值为：f（3）=6e3，当x=1取极小值为f（1）=2e18在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积【考点】余弦定理【分析】（1）利用正弦定理即可得出；（2）利用和差公式与三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（1）在ABC中，由题可知角A为钝角，故角C为锐角sinA=，故，即，得C=45；（2）由 （1）得，故ABC的面积为19数列an满足，且a1=2（1）写出a2，a3，a4的值；（2）归纳猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）设，求数列bn的前n项和Tn【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）由a1=2，分别令n=1，2，3，即可得出；（2）由（1）猜想：an=3，利用数学归纳法证明即可，（3）先求出bn=，裂项求和即可【解答】解：（1）an满足，且a1=2，a2=，a3=，a3=，（2）可以猜想an=3，证明如下：当n=1时，猜想当然显然成立；假设当n=k（kN+）时猜想成立，即ak=3，则ak+1=3，故当然n=k+1时猜想成立，由可知，猜想成立；（3）由（2）知bn=，故Tn=（）=1=20如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，且PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3（1）求异面直线PB与CM所成的角的余弦值；（2）求直线AC与平面PCM所成的角的正切值【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（1）可取AD中点O，BC中点N，并连接OP，ON，根据条件可以说明ON，OD，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，这样根据cos=即可求出异面直线PB与CM所成的角的余弦值；（2）根据条件可以说明AM平面PCM，从而得出为平面PCM的一条法向量，可求出向量的坐标，这样根据求出sin，从而求出cos，从而得出tan的值【解答】解：如图，取AD中点O，BC中点N，连接OP，ON，由题知OPAD，ONAD；平面PAD平面ABCD；OP平面ABCD，ON，OD，OP两两垂直；因此可以O为原点，以ON，OD，OP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：A（0，2，0），B（3，2，0），C（3，2，0），D（0，2，0），；（1）；=；即异面直线PB与CM所成的角的余弦值为；（2）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CDAD；CD平面PAD，AM平面PAD；AMCD，PAD为正三角形，M为PD的中点；AMPD，PDCD=D；AM平面PCD，即AM平面PCM；为平面PCM的一条法向量；又；=，；即直线AC与平面PCM所成的角的正切值为21已知A（0，1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|以D（1，1）为圆心的D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|（1）求椭圆C的标准方程；（2）求圆心D到直线MN的距离d的值【考点】椭圆的标准方程；点到直线的距离公式【分析】（1）由题意设椭圆C：，且F（c，0），由此利用椭圆性质能求出椭圆C的标准方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x0，y0）为MN的中点，利用点差法求出，由此能求出圆心D到直线MN的距离【解答】解：（1）由题意设椭圆C：，且F（c，0），则由|AF|=5|FB|，知B（），代入椭圆C的方程并化简得2a2=3c2=3（a21），即a2=3，故椭圆C的标准方程： =1（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x0，y0）为MN的中点，则=1， =1两式相减得，故2x0+6y0kMN=0|AM|=|AN|，故点A在线段MN的中垂线上又点D在线段MN的中垂线上，A，E，D三点共线，且ADMNkAD=2，从而，解得，圆心D到直线MN的距离d=|DE|=22已知函数f（x）=xlnx3x+8（1）求函数y=f（x）在e，e3（e是自然对数的底数）的值域；（2）设0ab，求证：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）法一：求出f（x）的导数，计算f（e），f（e2），f（e3）的值，从而求出函数的值域；法二：求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；（2）令g（b）=2f（a）+f（b）3f（），通过讨论函数的单调性，证明即可【解答】解：（1）法一：由题易知f（x）=lnx2，由f（x）=0可得x=e2因为f（e）=82e，f（e2）=8e2，f（e3）=8，故函数y=f（x）在e，e3的值域为8e2，8；法二：由题易知f（x）=lnx2，由f（x）0可得xe2，由f（x）0可得0xe2，故函数y=f（x）在（0，e2）递减，在（e2，+）递增，从而y=f（x）在e，e2）递减，在e2，e3递增，因为f（e）=82e，f（e2）=8e2，f（e3）=8，故函数y=f（x）在e，e3的值域为8e2，8；（2）令，则，故g（b）在（a，+）递增，得g（b）g（a）=0，令h（b）=g（b）（ba）ln3，则h（b）=g（b）ln3=，故函数h（b）在（a，+）递减，得h（b）h（a）=0，故g（b）（ba）ln3，综上可知0g（b）（ba）ln3，即xx9月19日