2022年高二下学期期中数学试卷（文科） 含解析

2022年高二下学期期中数学试卷（文科） 含解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，则U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D42下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|3用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个偶数4“a2”是“对数函数f（x）=logax为增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5函数f（x）=的值域为（）A（e，+）B（，e）C（，e）D（e，+）6设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）AbacBcabCcbaDacb7若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A1B1C7D78函数y=f（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到n（n2）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的取值范围为（）A2，3B2，3，4C3，4D3，4，59已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2时，则函数y=f（x）在2，4上的大致图象是（）ABCD10加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11 =_12已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=3时取得最小值，则a=_13观察下列不等式：=1，=，=，=3， =，依此规律，第n个等式为_14若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是_15已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x24x，那么当x0时，f（x）=_，不等式f（x+2）5的解集是_16在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L例如图中ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4（）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；（）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=_（用数值作答）三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B（1）求集合A，B；（2）若AB，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=x2bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=1（1）求b，c的值；（2）当x0，3时，求f（x）的取值范围（3）若不等式f（log2k）f（2）成立，求实数k的取值范围19已知函数f（x）=x2a2x+a（a0）（1）若a=1，求函数f（x）在0，2上的最大值；（2）若对任意x0，+），有f（x）0恒成立，求a的取值范围20已知函数f（x）=x+lnx，aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；（3）讨论函数g（x）=f（x）x的零点个数参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，则U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合【解答】解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故选D2下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，可得结论【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，故选：C3用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个偶数【考点】反证法与放缩法【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B4“a2”是“对数函数f（x）=logax为增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据对数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可【解答】解：若对数函数f（x）=logax为增函数，则a1，则a2是a1的充分不必要条件，故选：A5函数f（x）=的值域为（）A（e，+）B（，e）C（，e）D（e，+）【考点】分段函数的应用【分析】分段求出函数值得范围，即可得到函数的值域【解答】解：x1时，0；x1是，0exe，函数f（x）=的值域为（，e）故选：B6设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）AbacBcabCcbaDacb【考点】对数值大小的比较【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小【解答】解：1log372，b=21.12，c=0.83.11，则cab，故选：B7若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A1B1C7D7【考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B8函数y=f（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到n（n2）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的取值范围为（）A2，3B2，3，4C3，4D3，4，5【考点】直线的斜率【分析】由表示（x，f（x）点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x0）可分别有2，3，4个解故n的取值范围为2，3，4故选B9已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2时，则函数y=f（x）在2，4上的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由题意求出函数f（x）在2，4上的解析式，问题得以解决【解答】解：f（x+2）=2f（x），f（x）=2f（x2），设x2，4，则x20，2，f（x）=，当x2，3），f（x）=2x4，图象为过（2，0），（3，2）的直线的一部分，当x（3，4，f（x）=2x2+12x16，图象过点（3，2），（4，0）的抛物线的一部分，故选：A10加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟【考点】二次函数的性质【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=0.2，b=1.5，c=2，p=0.2t2+1.5t2，对称轴为t=3.75故选：B二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11 =【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =故答案为：1+12已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=3时取得最小值，则a=36【考点】对勾函数【分析】利用基本不等式求出f（x）取得最小值时x的值即可得出a的值【解答】解：x0，a0，f（x）=4x+2=4，当且仅当4x=即x=时取得等号，解得a=36故答案为：3613观察下列不等式：=1，=，=，=3， =，依此规律，第n个等式为=【考点】进行简单的合情推理【分析】由条件利用归纳推理，得出一般性的结论【解答】解：观察下列不等式： =1=， =， =， =3=， =，依此规律，可得第n个等式为=，故答案为： =14若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是6【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（2，2），此时z的最大值为z=2+22=6，故答案为：615已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x24x，那么当x0时，f（x）=x2+4x，不等式f（x+2）5的解集是（7，3）【考点】函数单调性的性质【分析】根据函数偶函数的性质，利用对称性即可得到结论【解答】解：若x0，则x0，当x0时，f（x）=x24x，当x0时，f（x）=x2+4x，f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）=x2+4x=f（x），即当x0时，f（x）=x2+4x，当x0时，由f（x）=x24x=5，解得x=5或x=1（舍去），则根据对称性可得，当x0时，f（5）=5，作出函数f（x）的图象如图：则不等式f（x+2）5等价为5x+25，即7x3，则不等式的解集为（7，3），故答案为：x2+4x，（7，3），16在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L例如图中ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4（）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6；（）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=79（用数值作答）【考点】进行简单的合情推理【分析】（）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S【解答】解：（）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得，S=N+1将N=71，L=18代入可得S=79故答案为：（）3，1，6；（）79三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B（1）求集合A，B；（2）若AB，求实数a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法【分析】（1）根据对数、二次根式有意义的条件求集合A，B；（2）若AB，建立不等式求实数a的取值范围【解答】解：（1）由0，可得1x2，A=x|1x2；由2xa0，可得x，B=x|x；（2）AB，1，a218已知函数f（x）=x2bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=1（1）求b，c的值；（2）当x0，3时，求f（x）的取值范围（3）若不等式f（log2k）f（2）成立，求实数k的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可；（2）求出二次函数的表达式，配方，根据函数的单调性求出函数的值域；（3）利用二次函数的图象可得出log2k2或log2k0，根据对数函数求解【解答】解：（1）f（x）的对称轴为x=1且f（0）=1，=1，f（0）=c=1，b=2，c=1；（2）由（1）得：f（x）=x22x1=（x1）22，x0，3时，最小值为2，最大值为f（3）=2，f（x）的取值范围为2，2；（3）f（log2k）f（2）=1，log2k2或log2k0，k4或0k119已知函数f（x）=x2a2x+a（a0）（1）若a=1，求函数f（x）在0，2上的最大值；（2）若对任意x0，+），有f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）代入a值，配方，利用二次函数的性质求出函数的最大值；（2）二次函数配方，由题意可知，函数的对称轴大于或等于零，则必须使函数的最小值大于零【解答】解：（1）a=1，f（x）=x2x+=（x）2，函数f（x）在0，2上的最大值为f（0）=；（2）f（x）=x2a2x+a=（x）2，若对任意x0，+），有f（x）0恒成立，0，0a20已知函数f（x）=x+lnx，aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；（3）讨论函数g（x）=f（x）x的零点个数【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，问题转化为ax2+x在（1，4）恒成立；（3）问题转化为讨论a=x3+x2+x的交点个数，令m（x）=x3+x2+x，（x0），根据函数的单调性恒成m（x）的大致图象，结合图象，通过讨论a的范围求出函数的零点即可【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x+lnx，（x0），f（x）=1+，f（1）=1，f（1）=2，故切线方程是：y2=x1，整理得：xy+1=0；（2）f（x）=1+=，若f（x）在区间（1，4）内单调递增，则x2+xa0在（1，4）恒成立，即ax2+x在（1，4）恒成立，而y=x2+x的最小值是2，故a2；（3）g（x）=f（x）x=1+x=，（x0），令h（x）=x3+x2+xa，（x0），讨论函数g（x）=f（x）x的零点个数，即讨论h（x）=x3+x2+xa，（x0）的零点个数，即讨论a=x3+x2+x的交点个数，令m（x）=x3+x2+x，（x0），m（x）=3x2+2x+1=（3x+1）（x1），令m（x）0，解得：0x1，令m（x）0，解得：x1，m（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，m（x）max=m（1）=1，x0时，m（x）0，x+时，m（x），如图示：，结合图象：a1时，g（x）无零点，a=1或a0时，g（x）1个零点，0a1时，g（x）2个零点xx10月1日