2022年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题11 计数原理（理）（含解析）

2022年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题11 计数原理（理）（含解析）排列与组合的综合问题【背一背重点知识】1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2. 排列与组合的定义(1)排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An(n1)(n2)(nm1)或写成A.(2)组合：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C或写成C.3. 组合数的性质CC；CCC.【讲一讲提高技能】1必备技能：（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化（3）求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数2典型例题：例1将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1，2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A52种 B36种 C20种 D10种【答案】D【解析】试题分析：1号盒放1个，2号盒放3个，方法种数是，1号盒放2个，2号盒放2个，方法种数是，所以不同的放球方法有例2把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.分析：这是一道排列问题，先考虑产品A与B相邻，再考虑当A、B相邻又满足A、C相邻，利用“间接法”.【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【练一练提升能力】1.从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ）A70种 B112种 C140种 D168种【答案】C【解析】 2.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_.【答案】96【解析】这相当于相邻问题，连号的两张票是12,23,34,45中的一种，把这两张票合起来作为一张票，这样相当于4张不同的票给4个人，因此不同分法种种数为利用二项式定理求指定项【背一背重点知识】1. 二项式定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)2.二项展开式的通项：Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二项式系数【讲一讲提高技能】1.必备技能：应用二项式定理关键是掌握通项公式，在应用通项公式时，要注意：它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；是展开式中的第项，而不是第项；公式中，的指数和为且不能随便颠倒位置；对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题2.典型例题：例1若（）的展开式中当且仅当第6项系数最大，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】例2若的展开式中项的系数为20，则的最小值 .分析：展开式的通项为，令根据得，再应用基本不等式即得解析：展开式的通项为，令得，所以，由得，从而，当且仅当时，的最小值为.【练一练提升能力】1.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ）A-10 B10 C-45 D45【答案】D【解析】 2.在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ）A项 B项 C项 D项【答案】C【解析】试题分析：，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C二项式系数与项的系数【背一背重点知识】1. 二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cn取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值2.各二项式系数的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.【讲一讲提高技能】1必备技能：在处理二项式系数或者各项的系数时，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法2典型例题：例1已知的展开式中的系数为,则（）ABCD分析：根据多项式的乘法法则知，展开式中是由1与中的项相乘旂积再加上与中的项相乘的积，因此我们要求出中项，这可由二项式定理得到.【解析】中这两项的系数分别为，因此有，解得.例2的二项展开式中含的项的系数为_【答案】15【解析】【练一练提升能力】1.若的展开式中的系数为7,则实数_.【答案】【解析】展开式的通项为，令，则，因此的系数为，解得：.2. 设，则二项式展开式中的第4项为 【答案】【解析】（一） 选择题（12*5=60分）1. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C2.满足,且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（）A14B13C12D10【答案】B【解析】3从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ）A70种 B112种 C140种 D168种【答案】C【解析】 4 若的展开式的各项系数和为243，则的系数为（ ）A10 B20 C30 D60【答案】C【解析】试题分析：由题意得，令，则可的展开式的各项系数和，即，得，在展开式中，根据排列组合的知识可得的系数为，故选C5方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A、60条 B、62条 C、71条 D、80条【答案】B【解析】本题可用排除法，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又和时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.6. 的展开式的常数项是（ ） 【答案】D【解析】第一个因式取，第二个因式取 得：，第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是7.学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班，选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ）A72种 B54种 C36种 D18种【答案】B【解析】 8. 的展开式中的系数是（）ABCD【答案】D【解析】展开式中系数为，展开式中的系数为，因此所求的系数为，选D.9.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A48种 B72种 C78种 D84种【答案】A【解析】试题分析：根据题意知先使五个人的全排列，共有种结果穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有种，故穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是，故选A10. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） 或 或 或 或【答案】D【解析】没有交换的次数为设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人，设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人循环不满足条件输出，选C.11.设函数 , 则当x0时, 表达式的展开式中常数项为（）A-20B20C-15D15【答案】A【解析】 12.设，且，若能被13整除，则A0 B1 C11 D12【答案】D【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需，,所以，选D.（二） 填空题（4*5=20分）13.将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有_种(用数字作答)【答案】480【解析】六个字母排成一排，占6个位置，我们可以从中任选3个排，共有种排法，剩下的三个位置排，由于要求在的同侧，则有4种排法（），因此总排法为.14. 某班级要从名男生、名女生中选派人参加社区服务，如果要求至少有名女生，那么不同的选派方案种数为 （用数字作答）【答案】14【解析】6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。24将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有 _ 【答案】35【解析】 15.二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是 【答案】70【解析】因为二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，由的展开式中，常数项为，令，所以，常数项是，答案为.16华师一“长飞班”由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导老师，在该班级的一次活动中，每两位同学之间相互向对方提一个问题，每位同学又向每位指导老师各提出一个问题，并且每位指导老师也向全班提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题，则 【答案】【解析】