2022年高三数学一轮总复习 专题八 数列（含解析）

2022年高三数学一轮总复习 专题八 数列（含解析）抓住5个高考重点重点1 数列的概念与通项公式1.数列的定义2.通项与前项和的关系：3.数列的一般性质：（1）单调性；（2）周期性-若，则为周期数列，为的一个周期.4.数列通项公式的求法：观察、归纳与猜想高考常考角度角度1 已知数列满足，则解析：主要考查对数列中项数的分析处理能力，角度2 已知数列的前项和为第项满足则（ ）A. B. C. D. 解析：当时，；当时，故由，故选B重点2等差数列及其前项和1.等差数列的通项公式：2.等差数列的前项和公式：，为常数3.等差数列的性质与应用：也成等差数列4.等差数列前项和的最值：（1）若，数列的前几项为负数，则所有负数项或零项之和为最小；（2）若，数列的前几项为正数，则所有正数项或零项之和为最大；（3）通过用配方法或导数求解.5等差数列的判定与证明：（1）利用定义，（2）利用等差中项，（3）利用通项公式为常数，（4）利用前项和，为常数高考常考角度角度1在等差数列中，则_解析：由等差数列的性质知.角度2已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）A B C D解析：，解之得，. 故选D.角度3设等差数列的前项和为,若,则当取最小值时等于（ ）A B C D解析：设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值.选A角度4已知数列满足对任意的，都有，且（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围解：（1）当时，有，由于，所以 当时，有，将代入上式，由于，所以 （2）由于， 则有 ，得， 由于，所以 同样有， ，得 所以由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列故（3） 数列是递增数列，故要使不等式对任意的正整数恒成立只须，又 故 所以 实数的取值范围是角度5 （xx.福建）已知等差数列中，（）求数列的通项公式；（）若数列的前项和，求的值解析：（）设等差数列的公差，则，由题设，所以（）因为，所以，解得或因为，所以重点3 等比数列及其前项和1.等比数列的通项公式：2.等比数列的前项和公式：3.等比数列的性质与应用: 也成等比数列4.等比数列的判定与证明：（1）利用定义为常数（2）利用等比中项，高考常考角度角度1若等比数列满足，则公比为（ ）A. B. C. D. 解析：由题有，故选择B.角度2在等比数列中，若则公比 ； .解析：由已知得；所以.角度3设数列的前项和为 已知（）设，证明数列是等比数列（）求数列的通项公式。解析：（）由及，有由， 则当时，有.得 ， 又，是首项，公比为2的等比数列（）由（）可得，（如果不这样，就要用到累差法了）数列是首项为，公差为的等比数列，故 角度4等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.解析：（）当时，不合题意；当时，不合题意.当时，当且仅当时，符合题意；因此 故 （）因为重点4 数列的求和1.数列求和的注意事项：（1）首项：从哪项开始相加；（2）有多少项求和；（3）通项的特征决定求和的方法2.常见的求和技巧：（1）公式法，利用等差数列、等比数列的求和公式；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4）分组求和法； （5）裂项法； （6）并项法高考常考角度角度1若数列的通项公式是,则（ ）A. B. C. D. 解析:方法一：分别求出前10项相加即可得出结论；方法二：，故.故选A.角度2 已知数列，求此数列的前项和解析：由角度3数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，. （1）求； （2）求证.解：设公差为，由题意易知，且 则通项，前项和再设公比为，则通项 由可得 又为公比为64的等比数列， 联立、及，且可解得 通项， 的通项，（2）由（1）知， 角度4 设若，则_解析： 由得 ， 角度5 设数列满足（1）求数列的通项公式（2）设求数列的前项和解析：（1）由已知 当时， 两式相减得， 在中，令，得 所以（2） 相减得重点5 数列的综合应用1.等差数列与等比数列的综合2.数列的实际应用（贵州省所考的新课程全国卷基本上不考此类题，故未选入）高考常考角度角度1设，其中成公比为的等比数列，成公差为的等差数列，则的最小值是_解析：由题意：， ，而的最小值分别为 .角度2已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和（）当、成等差数列时，求q的值；（）当、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、也成等差数列解析：（）由已知，因此，当、成等差数列时，可得化简得解得（）若，则的每项，此时、显然成等差数列若，由、成等差数列可得，即整理得因此，所以，、也成等差数列突破3个高考难点难点1 数列的递推公式及应用1.求（为常数）型的通项公式（1）当时，为等差数列（2）当时，为等差数列（3）当且时，方法是累差法或待定系数法，具体做法是：数列为等比数列2.求（且为常数）型的通项公式，具体做法是：“倒代换”由变形为，故是以为首项，为公差的等差数列，进而求解3. 求（为常数）型的通项公式，具体做法是：由，令，则，再行求解.典例 根据下列条件，求数列的通项公式（1） （待定系数法）解析：由，是以为公比，为首项的等比数列 （2）（换元法）解析：由，是以公差，1为首项的等差数列 （3） （累差法、换元法、待定系数法）解析：两边除以得，令，则是以为公比，为首项的等比数列，（4） （累积法）解析：由已知得以上各式相乘，得（5） （换元法）解析：由已知是以为公比，为首项的等比数列，所以难点2 数列与不等式的交汇典例设数列满足且（）求的通项公式；（）设记证明：解析：（）由已知，是公差为1的等差数列，（）难点3 数列与函数、方程的交汇典例1已知等比数列的公比，前3项和。（）求数列的通项公式；（）若函数在处取得最大值，且最大值为，求的解析式。点评：本题考察等比数列的通项公式、三角函数的图象性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想。基础题。解：（）由题有；（）由（），故，又，所以 规避4个易失分点易失分点1 忽略成立的条件典例 已知数列满足，（1）证明是等差数列，并求出公差（2）求数列的通项公式解析：（1）由已知，所以是等差数列，且公差为（2）当时，验证与不符故易失分点2 数列求和中包含的项数不清典例 设，则等于（ ）A. B. C. D. 解析：容易错选A，其实仔细观察会发现，有项，故选D易失分点3 数列中的最值求解不当典例 已知数列满足则的最小值为_解析：由已知得以上各式相加得，令，由对钩函数或者求导可以知道在上递减，在上递增又，所以时可能取到最小值，而，故的最小值为易失分点4 使用错位相减法求和时对项数处理不当典例 数列是等差数列，,其中，数列前项和存在最小值.（1）求通项公式;（2）若，求数列的前项和解：（1） 2分又数列是等差数列， （）+（）=解之得：或 4分当时，此时公差，当时，公差，此时数列前n项和不存在最小值，故舍去。 6分（2）由（1）知， 8分（点评：此处有一项为0，但是必须写上，否则会引起混乱） 10分（点评：不能打乱原有的结构） 12分