2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(II)

2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(II)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1抛物线x2=2y的焦点坐标是（）ABC（1，0）D（0，1）2经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A3x+4y12=0B3x4y+12=0C4x3y+12=0D4x+3y12=03直线2x3y+10=0的法向量的坐标可以是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）4圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的位置关系是（）A相离B相交C外切D内切5左支上一点，F1是双曲线的左焦点，且|PF1|=17，则P点到左准线的距离是（）ABCD6椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（）ABCD7已知点P1（0，2），P2（3，0），在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）ABCD8圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）Ax2+y2x2y=0Bx2+y2+x2y+1=0Cx2+y2x2y+1=0Dx2+y2x2y+=09过双曲线x2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A1条B2条C3条D4条10F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11双曲线=1的渐近线方程是12已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=13已知x，y满足方程（x2）2+y2=1，则的最大值为14直线y=mx+1与双曲线x2y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是15已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则k=三、解答题（1618每小题13分，1921每小题13分，共75分）16已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，求直线AB的方程（用一般式表示）17已知直线l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值18过点P（2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分（1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）（2）求弦长|AB|19在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？20已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px（p0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若F1QF2=60（1）求F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程21已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PHx轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）（1）求动点E的轨迹方程C；（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求OAB面积的最大值及此时直线l的方程；（3）是否存在方向向量=（1，k）（k0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有|=|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1抛物线x2=2y的焦点坐标是（）ABC（1，0）D（0，1）【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义可得，x2=2py（p0）的焦点坐标（0，）可直接求解【解答】解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）故选B2经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A3x+4y12=0B3x4y+12=0C4x3y+12=0D4x+3y12=0【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即4x+3y12=0故选D3直线2x3y+10=0的法向量的坐标可以是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系【分析】先求出直线的斜率，可得其方向向量的坐标，再结合向量垂直即可得到结论【解答】解：因为直线2x3y+10=0，斜率为其方向向量为：（1，）设其法向量坐标为（x，y）由因为方向向量和法向量垂直，x+y=0；符合要求的只有答案C故选：C4圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的位置关系是（）A相离B相交C外切D内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可【解答】解：圆O1：x2+y22x=0，即（x1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y24y=0，即x2+（y2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2|O1O2|=，故|r1r2|O1O2|r1+r2|两圆的位置关系是相交故选 B5左支上一点，F1是双曲线的左焦点，且|PF1|=17，则P点到左准线的距离是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的定义，建立方程，即可得出结论【解答】解：设P点到左准线的距离是d，则左支上一点，F1是双曲线的左焦点，且|PF1|=17，d=故选A6椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】确定椭圆的两准线间的距离、两焦点间的距离，利用两焦点三等分椭圆两准线间的距离，建立方程，即可求得椭圆的离心率【解答】解：两准线间的距离为，两焦点间的距离2c，两焦点三等分椭圆两准线间的距离，2c=，即：6c2=2a2，e=，或e=（舍去）故选B7已知点P1（0，2），P2（3，0），在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）ABCD【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算【分析】设P（x，y），由题意知，得=（x，y2），=（3x，y）利用向量相等的条件得 列出关于x，y的方程组，解出点P坐标【解答】解：设P（x，y），由题意知，得=（x，y2），=（3x，y）因为，所以解得所以P点坐标为（2，）故选A8圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）Ax2+y2x2y=0Bx2+y2+x2y+1=0Cx2+y2x2y+1=0Dx2+y2x2y+=0【考点】圆的一般方程【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C故选D9过双曲线x2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A1条B2条C3条D4条【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段【解答】解：双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有3，解得y=2，此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选C10F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【考点】圆的标准方程【分析】根据题意，延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OP的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案【解答】解：如图所示延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO，MP是F1MB的平分线，且PMBF1F1MB中，|MF1|=|BM|且P为BF1的中点由三角形中位线定理，得|OP|=|BF2|=（|BM|+|MF2|）由椭圆的定义，得|MF1|+|MF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）可得|BM|+|MF2|=2a，|OP|=（|MF1|+|MF2|）=a，可得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2为以原点为圆心半径为a的圆故选：A二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11双曲线=1的渐近线方程是y=x【考点】双曲线的简单性质【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程【解答】解：双曲线，a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为 y=x=x，故答案为 y=12已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8【考点】椭圆的简单性质【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=2012=8故答案为：813已知x，y满足方程（x2）2+y2=1，则的最大值为【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可【解答】解：x，y满足方程（x2）2+y2=1，圆的圆心（2，0），半径为1，设，即kxy=0，要求x，y满足方程（x2）2+y2=1，的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：，解得k=，所求的最大值为：故答案为：14直线y=mx+1与双曲线x2y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是且m1【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】联立直线与曲线方程，由题意可得，方程有2个不等的实数根，由此能求出实数k的取值的集合【解答】解：由消去y得（1m2）x22mx2=0由题意可得1m20，且=（2m）2+8（1m2）0，解可得，且m1故答案为且m115已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则k=【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算【分析】把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0由韦达定理得x1+x2=，x1x2=1，求出M（），进一步得到N点的坐标为（）表示出，利用向量的数量积根式求出，根据已知列出方程求出k的值【解答】解：设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0由韦达定理得x1+x2=，x1x2=1，所以M（），所以N点的坐标为（），所以=1=3因为，所以3=0所以k=故答案为：三、解答题（1618每小题13分，1921每小题13分，共75分）16已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，求直线AB的方程（用一般式表示）【考点】相交弦所在直线的方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）直线l：x=3与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程；（2）圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，线段AB即为两圆的公共弦将两圆的一般方程的左边相减，得到二元一次方程，即为公共弦弦AB所在直线的方程【解答】解：（1）圆C与直线l：x=3相切圆心C（2，1）到直线l的距离等于圆的半径因此半径r=|32|=1圆C的标准方程为（x2）2+（y1）2=1（2）将圆C与圆O的方程联解，由两式相减得方程：2x+y4=0，圆C与圆O相交于A，B两点，直线AB的方程即为2x+y4=017已知直线l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】（1）先求出两直线的法向量，由l1l2所以得a2+2a3=0，从而解得a的值最后经检验满足 l1l2 （2）由得a（2a3）a=0，即可求得a的值【解答】解：（1）直线l1的法向量为，直线l2的法向量为因l1l2所以即a2+2a3=0得a=3或1经检验均符合题意，故a=3或1（2）故a（2a3）a=0，a=0或218过点P（2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分（1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）（2）求弦长|AB|【考点】直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出（2）把直线方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式即可得出【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2）由于直线的斜率存在，故，从而直线AB的方程为：y1=2（x2），即2xy3=0（2）（2x3）2=4x即4x216x+9=0，因0，故于是19在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2c2=1故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx3=0由=16k2+480，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，20已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px（p0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若F1QF2=60（1）求F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程【考点】圆锥曲线的综合【分析】（1）由Q在椭圆上，知|QF1|+|QF2|=4在QF1F2中，所以，由此能求出F1QF2的面积（2）设Q（x0，y0）（x00，y00），故又Q点在椭圆上，所以，故由Q点在抛物线上，能求出抛物线方程【解答】解：（1）Q在椭圆上，|QF1|+|QF2|=4，=16，在QF1F2中，F1QF2=60，得：，（2）设Q（x0，y0），（x00，y00）由（1）知， =，|F1F2|=2c=2=2，故，又Q点在椭圆上，所以，即，故又Q点在抛物线上，所以，所以抛物线方程为21已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PHx轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）（1）求动点E的轨迹方程C；（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求OAB面积的最大值及此时直线l的方程；（3）是否存在方向向量=（1，k）（k0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有|=|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；轨迹方程【分析】（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用P（x，2y）点在圆上，即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式得，欲求面积的最大值，只须考虑|xB|的最大值即可由此求出直线l的方程；（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在【解答】解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上所以x2+4y2=4，即（2）而|xB|2，故当xB=2时，OAB面积的最大值为1此时，直线l的方程为：x2y+2=0或x+2y2=0（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）于是（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0=64k2m24（1+4k2）（4m24）04k2m2+10而故从而而故kAQk=1可得：3m=4k21由得：3m0故xx11月26日