2022年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第二节圆锥曲线 文

2022年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第二节圆锥曲线 文 圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间. 考试要求 了解圆锥曲线的实际背景；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；了解圆锥曲线的简单应用；掌握数形结合、等价转化的思想方法.题型一 圆锥曲线的定义及应用 例 已知点为椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值和最小值分别为. 已知双曲线的虚轴长为,离心率为,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于、两点,且是与的等差中项,则. 点拨：题可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求的值. 解：设椭圆右焦点为,则,.又 (当、共线时等号成立).又,.故的最大值为,最小值为. 依题意有,解得.、在双曲线的左支上,.又,.,即. 易错点：在本例的两个小题中,正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；由、三点共线求出的最值也是值得注意的问题. 变式与引申1.已知为抛物线上任一动点,记点到轴的距离为,对于给定的点,的最小值为( ). A. B. C. D.2.设、分别是椭圆：的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,且是与的等差中项,则.题型二 圆锥曲线的标准方程例2 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.图 求椭圆的离心率； 设,又,为与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线上,求和的方程. 点拨：问题：将的焦点坐标代入的方程,得出的关系式,进而求出的离心率；问题：利用问题的答案,联立、的方程先得出、坐标,再利用的重心在抛物线上,求、的方程. 解：抛物线经过椭圆的两个焦点,即,椭圆的离心率. 由可知,椭圆的方程为,联立抛物线的方程,得,解得或(舍去),即,的重心坐标为.重心在上,得.抛物线的方程为,椭圆的方程为. 易错点：忘记用第小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后,计算错、坐标. 变式与引申3.求经过两点和的椭圆的标准方程.4.已知椭圆与直线相交于、两点,是的中点,若,的斜率为,求椭圆的方程.题型三 圆锥曲线的几何性质图 例 如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点. 若直线的倾斜角为,求证：(为椭圆的离心率)； 若,且,求椭圆的离心率的取值范围. 点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件,运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题获证；对于则运用平几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率的不等式,进而求出的取值范围. 解法：,即,又,故. 解法：依题意直线的分别为,点的坐标为,故. 解：,.将直线代入椭圆,整理得,.,解不等式,得,故椭圆的离心率的取值范围为. 易错点：问题中忽视斜率的正负,会导致的符号出错；问题中不适时联想平几性质，解题思路将受阻. 变式与引申5.给定抛物线：,过点斜率为的直线与交于,两点. ()设线段的中点在直线上,求的值； ()设,求的取值范围.题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题 例 已知椭圆：的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点.当的斜率为时,坐标原点到的距离为. 求、的值； 上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的点的坐标与的方程.若不存在,说明理由. 点拨：问题可先写出的方程,再利用点到的距离和椭圆的离心率求出、的值；问题是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的是否存在.但需考虑转动时斜率不存在情形. 解：设,当的斜率为时,其方程为,点到的距离为, .由,得,. 上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.由知的方程为 .设,. 当不垂直轴时,设的方程为.上的点使成立的充要条件是 的坐标为,且,即 .又、在上, 将代入 ,整理得, 于是 ,.代入解得, 此时,于是,即.因此,当时, 的方程为；当时,的方程为. 当垂直于轴时,由知,上不存在点,使成立. 综上,上存在点使成立,此时的方程为.在、之间),为坐标原点. 若,求的面积； 对于任意的动直线,是否存在常数，总有？图若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.本节主要考查： 知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形,焦半径等)以及这些知识的综合应用； 以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题； 圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法； 数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.点评： 圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一,主要考查圆锥曲线的定义(如例)与性质(如例)、求圆锥曲线方程(如例)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例)等. 圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算. 求圆锥曲线的标准方程：定型确定是椭圆、抛物线、或双曲线；定位判断焦点的位置；定量建立基本量、的关系式,并求其值；定式据、的值写出圆锥曲线方程. 圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量、的一个方程(求大小)或找到关于基本量、间的不等关系(求范围)即可. 求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有：运用判别式或；点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中等)；根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况). 解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题. 探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.习题6-2 .已知椭圆中心在原点,左、右焦点、在轴上,、是椭圆的长、短轴端点,是椭圆上一点,且轴,则此椭圆的离心率是( ). A. B. C. D.2.过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若，则直线的斜率为_.已知定点,定直线：,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍.设点的轨迹为,过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、. 求的方程； 试判断以线段为直径的圆是否过点,并说明理由. .如图,已知直线：与抛物线：交于、两点,为坐标原点,. 求直线和抛物线的方程； 若抛物线上一动点从到运动时,求面积的最大值.【答案】变式与引申1. C提示：如图6-2-1,点到轴的距离比到准线的距离(即)少,.而点在抛物线外,的最小值为.2. 提示：由椭圆定义知,又，,.3. 解法一：当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为,依题意有,解得.当焦点在轴上时,同理解得,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为.解法二：设所求椭圆方程为.依题意有,解得.故所求椭圆的方程为.4. 解法一：设,代入椭圆方程得,相减得.,.由,得.,.又,.将代入,解得,.故椭圆方程为.解法二：由,得.设,则,.,. 设,则,代入,得,.故椭圆方程为.5. 解：()过点斜率为的直线为,将代入方程，得. 设,则有,.线段的中点在直线上,即,得(此时式的判别式大于零).()由,得,即. 由,得.,由、得,易知,.,又,即,得,解得或,故的取值范围是.6. 解：由题意,直线的方程为.设点,由,得,则,.设点,则.由、三点共线得.由得点到轴距离与到直线：距离相等,即,.把,代入,得,即,解得.故存在常数,总有.习题6-2 . B. 提示：设椭圆的方程为,则,.由轴,得,即,解得,故椭圆的离心率.选B. 2. 提示：过点B向准线作垂线,垂足为M，可知，所以直线的斜率为. 解：设,则,化简得. 当直线与轴不垂直时,设的方程为,与双曲线联立消去得.由题意知且.设,则,.,的方程为,点的坐标为,同理可得,因此. 当直线与轴垂直时,其方程为,则,的方程为,点的坐标为,同理可得,因此.综上,即,故以线段为直径的圆经过点.解：由,得.设,则,.,解得,故直线的方程为,抛物线的方程.解法一：由,得,.设,为定值,当点到直线的距离最大时, 的面积最大.而,又,当时,.当点坐标为时,面积的最大值为. 解法二：设,依题意,抛物线在点处的切线与平行时,的面积最大.,.此时点到直线的距离.由,得,故面积的最大值为.