2022年高三数学上学期第二次统练试题 文（含解析）新人教A版

2022年高三数学上学期第二次统练试题 文（含解析）新人教A版【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。2.适度综合考查，提高试题的区分度 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度.第卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1定义，若，则（）A B C D 【知识点】补集及其运算A1 【答案解析】C 解析：集合M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，MN=1，4，5故选C【思路点拨】根据题中的新定义，找出属于M不属于N的元素，即可确定出MN【题文】2“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】B 解析：log2alog2b，0ab，“ab”是“log2alog2b”的必要不充分条件，故选：B【思路点拨】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论【题文】3直线与圆相交于两点,则弦的长度等于（）AB.CD1【知识点】直线与圆相交的性质H4 【答案解析】B 解析：圆心（0，0）到直线x+2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即，故选B。【思路点拨】由直线与圆相交的性质可知，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+2=0的距离d，即可求解。【题文】4已知为等比数列，下面结论中正确的是（）AB ABCO（第5题）C若,则D若,则【知识点】等比数列的性质D3 【答案解析】B 解析：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立，故A不正确；，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，q2=1，q=1，a1=a2或a1=a2，故C不正确；若a3a1，则a1q2a1，a4a2=a1q（q21），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B【思路点拨】a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=a2；若a3a1，则a1q2a1，而a4a2=a1q（q21），其正负由q的符号确定，故可得结论【题文】5设点O是边长为1的正ABC的中心（如图所示），则（）A B C D【知识点】平面向量数量积的运算F3 【答案解析】D 解析：因为点O是边长为1的等边ABC的中心，D为BC的中点，两两夹角为120所以=所以（）（）=+=故选D【思路点拨】由题意求出的长度，推出夹角大小，直接利用向量的数量积求解即可【题文】6. 已知直线、与平面下列命题正确的是（）A BC D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【答案解析】D 解析：A、由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，故A不对；B、当m与n都与和的交线平行时，也符合条件，但是mn，故B不对；C、由面面垂直的性质定理知，必须有mn，n时，n，否则不成立，故C不对；D、由n且，得n或n，又因m，则mn，故D正确故选D【思路点拨】由面面平行的判定定理知A不对，用当m与n都与和的交线平行时判断B不对，由面面垂直的性质定理知C不对，故D正确由面面垂直和线面垂直以及平行简单证明【题文】7如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为()A B C D【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换；余弦函数的对称性 【答案解析】A 解析：函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称由此易得故选A【思路点拨】先根据函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出的值，进而可得|的最小值【题文】8对于函数，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是（）A B C D【知识点】抽象函数及其应用B10 【答案解析】D 解析：对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，函数的对称轴是x=a，a0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确故选：D【思路点拨】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可【题文】9 设定义在区间上的函数是奇函数（），则的取值范围是（） AB CD【知识点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质B7B4 【答案解析】A 解析：定义在区间（b，b）上的函数是奇函数f（x）+f（x）=0；1a2x2=14x2；a2；a=2；令，可得，a=2，ab的取值范围是；故选A【思路点拨】根据定义在区间（b，b）上的函数是奇函数，可确定a=2，及b的取值范围，从而可求ab的取值范围【题文】10已知. 、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则()A BC D与的大小关系不确定【知识点】圆与圆锥曲线的综合H9 【答案解析】A 解析：由题意知，圆C是AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，MF2=QF2=（AF1+AF2）（AF1+AQ）=2aAF1AP=2aF1P=2aF1MMF1+MF2=2a，t=a=2故选A【思路点拨】由题意知，圆C是AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，由此能求出t的值第卷（非选择题部分 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分【题文】11双曲线的两条渐近线的方程为 .【知识点】双曲线的简单性质H6 【答案解析】 解析：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：【思路点拨】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【题文】12设,则的值是 .【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切C2 C6 【答案解析】 解析：sin2=2sincos=sin，（，），cos=，sin=，tan=，则tan2=故答案为：343322正视图(第13题)侧视图俯视图【思路点拨】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sin不为0求出cos的值，由的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan的值代入计算即可求出值【题文】13. 已知某个几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则这个几何体的体积是 cm3【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】 解析：三视图复原的几何体是上部为长方体三度为：4，3，2；下部为放倒的四棱柱，底面是等腰梯形其下底为9，上底为3高为2，棱柱的高为4，几何体的体积为：432+=72 cm3故答案为：72【思路点拨】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积即可【题文】14已知等比数列中，公比，且， 则= 【知识点】等比数列的性质D3 【答案解析】3 解析：由题意可得：数列an为等比数列，所以=q5因为数列an为等比数列，a3a4=12，所以a3a4=a1a6=12因为a1+a6=8，公比q1，解得a1=2，a6=6，所以q5=3故答案为：3【思路点拨】根据等比数列的性质对所求进行化简可得：=q5结合题中条件a1+a6=8，a3a4=12可得a1=2，a6=6，进而得到答案【题文】15已知点的坐标满足，设，则（为坐标原点）的最大值为 【知识点】简单线性规划的应用E5 【答案解析】2 解析：满足的可行域如图所示，又，由图可知，平面区域内x值最大的点为（2，3）故答案为：2【思路点拨】先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果【题文】16.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为 【知识点】一元二次不等式的解法E3 【答案解析】 解析：令f（x）=x2+ax2，则f（0）=2，顶点横坐标0，要使关于x的不等式x2+ax20在区间1，5上有解，则应满足f（5）0，解得；时，要使关于x的不等式x2+ax20在区间1，5上有解，也应满足f（5）0，解得综上可知：实数a的取值范围是故答案为：【思路点拨】令f（x）=x2+ax2，则f（0）=2，无论顶点横坐标0，还是时，要使关于要使关于x的不等式x2+ax20在区间1，5上有解，则应满足f（5）0，解出即可【题文】17若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 _【知识点】基本不等式E6 【答案解析】 解析：正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy4，不等式（x+2y）a2+2a+2xy340恒成立，即（4xy4）a2+2a+2xy340恒成立，变形可得2xy（2a2+1）4a22a+34恒成立，即xy恒成立，x0，y0，x+2y2，4xy=x+2y+44+2，即220，解不等式可得，或（舍负）可得xy2，要使xy恒成立，只需2恒成立，化简可得2a2+a150，即（a+3）（2a5）0，解得a3或a，故答案为：【思路点拨】原不等式恒成立可化为xy恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy2，故只需2恒成立，解关于a的不等式可得三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求角C的值；（2）若，且ABC的面积为，求的值【知识点】正弦定理；余弦定理C8 【答案解析】（1）（2）解析：（1）a（sinAsinB）+bsinB=csinC，由正弦定理得a2ab+b2=c2，故cosC=，0C，所以C=（2）absinC=，a=1，所以b=4，则由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=1+16214cos=13，即c=【思路点拨】（1）已知a（sinAsinB）+bsinB=csinC由正弦定理化简得a2ab+b2=c2，由余弦定理得cosC=，0C，所以C=（2）若a=1，且ABC的面积为=absinC，求出b的值，从而由余弦定理求出c的值【题文】19. （本小题满分14分）已知数列an是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，且S5=30，又a1，a3，a9成等比数列（）求Sn；（）若对任意nt，nN，都有+，求t的最小值【知识点】数列与不等式的综合；等比数列的性质D3D5 【答案解析】（）;（）48解析：（）设公差为d，由条件得，得a1=d=2an=2n，；（）， 即 ，的最小值为48 14分【思路点拨】（）由a1，a3，a9成等比数列列方程组求出首项和公差，则Sn可求；（）把an，Sn代入，整理后列项，求和后得到使+成立的t的最小值【题文】20（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE（1）设M为线段A1C的中点，求证： BM / 平面A1DE；（2）当平面A1DE平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定G4 G11 【答案解析】（1）见解析；（2）解析：（1）取的中点F，连结MF，则MF/CD，且MFCD，即MFBE，MF= BE，故四边形BEFM是平行四边形，则BM/EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM / 平面A1DE；7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，CE2+ED2=CD2，CED=90，CEED又平面A1DE平面BCD，CE平面A1DE，CEDA1又DA1A1E，A1EEC=E，DA1平面A1CE，A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角在RtA1CD中，sinA1CD，即直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为 14分【思路点拨】（1）取CD中点N，并连接MN，BN，容易证明平面BMN平面A1DE，所以便得到BM平面A1DE；（2）容易说明CE平面A1DE，所以DA1CE，又DA1A1E，所以DA1平面A1CE，所以A1CD便是直线CD与平面A1CE所成角，所以该角的正弦值为【题文】21.（本小题满分15分）已知动圆过定点,且与直线相切 （1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优B12 【答案解析】（1）；（2）直线经过这个定点 解析：(1)设圆心, 则由题意得 ，化简得，即动圆圆心的轨迹的方程为7分 (2) 解法一：由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设的方程为,并设，联立: 代入整理得 从而有 , 9分又 , 又， 11分，展开即得，将代入得,得：，14分故直线经过这个定点 15分解法二：设，设，与联立，得，则，同理，即由: 代入，整理得恒成立则 故直线经过这个定点15分【思路点拨】（1）设出圆心坐标，由题意列，整理后得到动圆圆心的轨迹C的方程；（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+a，和（1）中求得轨迹联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，结合k1+k2=1求得直线方程，由线系方程得答案【题文】22（本小题满分15分）已知函数.（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的单调递增区间； （3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【知识点】函数恒成立问题B14 【答案解析】（1）a=0；（2）及；（3）解析：（1）解法一：因为函数f（x）=x2+2|xa|又函数y=f（x）为偶函数，所以任取xR，则f（x）=f（x）恒成立，即（x）2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立（3分）所以|xa|=|x+a|恒成立，两边平方得：x22ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0（5分） 解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（1）=f（1），得|1a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=x2+2|x|，故有f（x）=f（x），即f（x）为偶函数（5分）（2）若，则（8分）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及10分(3)不等式化为即： (*)对任意的恒成立因为，所以分如下情况讨论：13分0xa时，不等式（*）化为4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x2+4x+12a0对任意的x0，a恒成立，因为函数g（x）=x2+4x+12a在区间0，a上单调递增，则g（0）最小，所以只需g（0）0即可，得，又a0所以（12分）ax1+a时，不等式（*）化为4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x24x+1+6a0对任意的x（a，1+a恒成立，由，知：函数h（x）=x24x+1+6a在区间（a，1+a上单调递减，则只需h（1+a）0即可，即a2+4a20，得或因为所以，由得（14分）x1+a时，不等式（*）化为4（xa）2x（1+a）x2+2x1，即x2+2x30对任意的x（a+1，+）恒成立，因为函数（x）=x2+2x3在区间（a+1，+）上单调递增，则只需（a+1）0即可，即a2+4a20，得或，由得综上所述得，a的取值范围是（16分）【思路点拨】（）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（1）=f（1），化简即可，但必须检验（）分x，x，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和” （）先整理f（x1）2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分0xaax1+ax1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集台州中学xx学年第一学期第二次统练试题 高三数学（文科）参考答案（2）， 即 ，的最小值为48 14分20解：（1）取的中点F，连结MF，则MF/CD，且MFCD，即MFBE，MF= BE，故四边形BEFM是平行四边形，则BM/EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM / 平面A1DE；7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，CE2+ED2=CD2，CED=90，CEED又平面A1DE平面BCD，CE平面A1DE，CEDA1又DA1A1E，A1EEC=E，DA1平面A1CE，A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角在RtA1CD中，sinA1CD，即直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为 14分21解： (1)设圆心, 则由题意得 ，化简得，即动圆圆心的轨迹的方程为7分 (2) 解法一：由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设的方程为,并设，联立: 代入整理得 从而有 , 9分又 , 又， 11分，展开即得，将代入得,得：，14分故直线经过这个定点 15分解法二：设，设，与联立，得，则，同理，即由: 代入，整理得恒成立则 故直线经过这个定点15分22（）解法一：因为函数f（x）=x2+2|xa|又函数y=f（x）为偶函数，所以任取xR，则f（x）=f（x）恒成立，即（x）2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立（3分）所以|xa|=|x+a|恒成立，两边平方得：x22ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0（5分） 解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（1）=f（1），得|1a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=x2+2|x|，故有f（x）=f（x），即f（x）为偶函数（5分）（）若，则（8分）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为及10分(3)不等式化为即： (*)对任意的恒成立因为，所以分如下情况讨论：13分150xa时，不等式（*）化为4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x2+4x+12a0对任意的x0，a恒成立，因为函数g（x）=x2+4x+12a在区间0，a上单调递增，则g（0）最小，所以只需g（0）0即可，得，又a0所以（12分）ax1+a时，不等式（*）化为4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x24x+1+6a0对任意的x（a，1+a恒成立，由，知：函数h（x）=x24x+1+6a在区间（a，1+a上单调递减，则只需h（1+a）0即可，即a2+4a20，得或因为所以，由得（14分）x1+a时，不等式（*）化为4（xa）2x（1+a）x2+2x1，即x2+2x30对任意的x（a+1，+）恒成立，因为函数（x）=x2+2x3在区间（a+1，+）上单调递增，则只需（a+1）0即可，即a2+4a20，得或，由得综上所述得，a的取值范围是（16分）