2022年高二上学期期中数学试卷（理科） 含解析(V)

2022年高二上学期期中数学试卷（理科） 含解析(V)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知倾斜角为的直线，与直线x3y+1=0垂直，则tan=（）AB3C3D2已知双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点为F1（5，0），F2（5，0），P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|PF2|=2，则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=13“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4圆O：x2+y22x7=0与直线l：（+1）xy+1=0（R）的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定5已知F是椭圆+=1（ab0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PFx轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）ABCD6已知命题p：“x0，1，a2x”，命题p：“xR，x2+4x+a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是（）A1，4B2，4C2，+）D4，+）7某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A48B64C96D1288以原点O引圆（xm）2+（y2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）Ax2+y2=3B（x1）2+y2=3C（x1）2+（y1）2=3Dx2+y2=29直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A5x+6y28=0B5x6y28=0C6x+5y28=0D6x5y28=010已知函数f（x）=（ex+1）（ax+2a2），若存在x（0，+），使得不等式f（x）20成立，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（0，）C（，1）D（，）11双曲线x2y2=xx的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上一点，且P不在x轴上，若A1PA2=4PA1A2，则PA1A2等于（）ABCD无法确定12已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）ABC3D2二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分.）13两条平行直线l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0的距离为14一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36，那么该三棱柱的体积是15某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为16如图所示，过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A，B，已知四边形AABF与BBAF的面积分别为15和7，则ABF的面积为三、解答题（本大题6个小题，共70分）17在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程18（）命题“”为假命题，求实数a的取值范围；（）若“x2+2x80”是“xm0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围19已知双曲线C：=1 的离心率是，其一条准线方程为x=（）求双曲线C的方程；（）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若=，求实数的取值范围20如图，曲线c1：y2=2px（p0）与曲线c2：（x6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且=0（1）求曲线c1的方程；（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长21已知A、B、C是椭圆M： =1（ab0）上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且（1）求椭圆M的方程；（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围22已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上（I）求椭圆C的标准方程；（）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求MNF2面积的最大值参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知倾斜角为的直线，与直线x3y+1=0垂直，则tan=（）AB3C3D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：倾斜角为的直线，与直线x3y+1=0垂直，tan=1，解得tan=3故选：C2已知双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点为F1（5，0），F2（5，0），P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|PF2|=2，则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意求得c，结合已知求得a，再由隐含条件求得b，则双曲线方程可求【解答】解：由题意，知c=5，又P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|PF2|=2，2a=2，得a=则b2=c2a2=255=20双曲线C的方程为故选：A3“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据直线与圆相切的充要条件，可得“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的等价命题“a+b=2”，进而根据充要条件的定义，可得答案【解答】解：若直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切则圆心（a，b）到直线x+y=0的距离等于半径即=，即|a+b|=2即a+b=2故“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的充分不必要条件故选A4圆O：x2+y22x7=0与直线l：（+1）xy+1=0（R）的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线l：（+1）xy+1=0（R），经过定点A（1，2），且点A在圆内，可得直线和圆相交【解答】解：直线l：（+1）xy+1=0（R），可化为（x1）+（xy+1）=0，令x1=0，则xy+1=0，可得定点A（1，2）定点A（1，2）在圆内，故直线和圆相交，故选：B5已知F是椭圆+=1（ab0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PFx轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】令x=c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到【解答】解：由于PFx轴，则令x=c，代入椭圆方程，解得，y2=b2（1）=，y=，又|PF|=|AF|，即=（a+c），即有4（a2c2）=a2+ac，即有（3a4c）（a+c）=0，则e=故选B6已知命题p：“x0，1，a2x”，命题p：“xR，x2+4x+a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是（）A1，4B2，4C2，+）D4，+）【考点】命题的真假判断与应用【分析】对于命题p：利用ax在x0，1上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式0即可得出a的取值范围，再利用命题“pq”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可【解答】解：对于命题p：x0，1，a2x，a（2x）max，x0，1，2x在x0，1上单调递增，当x=1时，2x取得最大值2，a2对于命题q：xR，x2+4x+a=0，=424a0，解得a4若命题“pq”是真命题，则p与q都是真命题，2a4故选：B7某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A48B64C96D128【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，它的俯视图的直观图面积为12，它的俯视图的面积为：24，它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：464=96，故选：C8以原点O引圆（xm）2+（y2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）Ax2+y2=3B（x1）2+y2=3C（x1）2+（y1）2=3Dx2+y2=2【考点】轨迹方程【分析】本题宜借助图形，由图知|OP|2=|OC|2|PC|2，设P（x，y），表示出三个线段的长度，代入等式整理即得【解答】 解：根据题意画出示意图，设圆心为C，切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含 条件|OP|2=|OC|2|PC|2|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，故点P的轨迹方程为x2+y2=3 故选A9直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A5x+6y28=0B5x6y28=0C6x+5y28=0D6x5y28=0【考点】直线与圆相交的性质【分析】设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，结合题意可得x1+x2=6，y1+y2=4，可得G的坐标，再由A、B在椭圆上，可得，计算可得k，将G的坐标代入可求直线的方程【解答】解：设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，而B（0，4），又BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上，故x1+x2=6，y1+y2=4，则MN的中点G为（3，2），又M、N在椭圆上，可得4（x1x2）（x1+x2）+5（y1y2）（y1+y2）=80，又由x1+x2=6，y1+y2=4，可得k=，又由直线MN过点G（3，2），则直线l的方程是6x5y28=0故选D10已知函数f（x）=（ex+1）（ax+2a2），若存在x（0，+），使得不等式f（x）20成立，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（0，）C（，1）D（，）【考点】特称命题【分析】由题意分离出a可得存在x（0，+），使得不等式a+成立，由函数的单调性求出右边式子的最大值可得【解答】解：由题意可得存在x（0，+），使得不等式（ex+1）（ax+2a2）20成立，故可得存在x（0，+），使得不等式（ex+1）（ax+2a2）2成立，即存在x（0，+），使得不等式a（x+2）2+成立，即存在x（0，+），使得不等式a+成立，又可得函数g（x）=+在x（0，+）单调递减，g（x）g（0）=，实数a的取值范围为（，）故选：D11双曲线x2y2=xx的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上一点，且P不在x轴上，若A1PA2=4PA1A2，则PA1A2等于（）ABCD无法确定【考点】双曲线的简单性质【分析】设P（x，y），y0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则可得tanPA1HtanPA2H=1，利用A1PA2=4PA1A2，即可求PA1A2的值【解答】解：如图，设P（x，y），y0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则tanPA1H=，tanPA2H=（ 其中a2=xx）tanPA1HtanPA2H=1PA1H+PA2H=，设PA1A2=，则PA2H=5，+5=，则=，即P故选：A12已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）ABC3D2【考点】椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2，即，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，即，联立得， =4，由柯西不等式得（1+）（）（1+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos=（r1）2+（r2）2r1r2，由，得，=，令m=，当时，m，即的最大值为，法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin=故选：A二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分.）13两条平行直线l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0的距离为【考点】两条平行直线间的距离【分析】先把x、y的系数化为相同的值，再利用两条平行直线间的距离公式计算求的结果【解答】解：条平行直线l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0，即直线l1：4x+8y+20=0和l2：4x+8y+15=0故它们之间的距离为d=，故答案为：14一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36，那么该三棱柱的体积是162【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据球的体积得出球的半径，由球与棱柱相切可知棱柱的高为球的直径，棱柱底面三角形的内切圆为球的大圆，从而计算出棱柱的底面边长和高【解答】解：设球的半径为r，则=36，解得r=3球与正三棱柱的三个侧面相切，球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆，棱柱底面正三角形的边长为2=6球与棱柱的两底面相切，棱柱的高为2r=6三棱柱的体积V=162故答案为16215某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则SAED=11=，SABC=SABE=1=，SACD=1=，故答案为：16如图所示，过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A，B，已知四边形AABF与BBAF的面积分别为15和7，则ABF的面积为6【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】设ABF的面积为S，直线AB：x=my+，代入抛物线方程，利用韦达定理，计算SAAF，SBBF，求出面积的积，利用四边形AABF与BBAF的面积分别为15和7，建立方程，即可求得ABF的面积【解答】解：设ABF的面积为S，直线AB：x=my+，代入抛物线方程，消元可得y22pmyp2=0设A（x1，y1） B（x2，y2），则y1y2=p2，y1+y2=2pmSAAF=|AA|y1|=|x1+|y1|=（+）|y1|SBBF=|BB|y2|=|x2+|y2|=（+）|y2|（+）|y1|（+）|y2|=（+）=（m2+1）SABF=|y1y2|=S四边形AABF与BBAF的面积分别为15和7（m2+1）=（15S）（7S）S2=（15S）（7S）S222S+105=0S=6 故答案为：6三、解答题（本大题6个小题，共70分）17在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程【考点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程【分析】（）设圆O的半径为r，由圆心为原点（0，0），根据已知直线与圆O相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离d，即为圆的半径r，由圆心和半径写出圆O的标准方程即可；（）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程【解答】（本题满分14分）（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即得圆O的方程为x2+y2=4 （2）由题意，可设直线MN的方程为2xy+m=0则圆心O到直线MN的距离 由垂径分弦定理得：，即所以直线MN的方程为：或18（）命题“”为假命题，求实数a的取值范围；（）若“x2+2x80”是“xm0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围【考点】特称命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（I）x0R，x023ax0+90为假命题，等价于xR，x23ax+90为真命题，利用判别式，即可确定实数a的取值范围；（II）根据一元二次不等式的解法分别求出两不等式的解集，由“x2+2x80”是“xm0”的充分不必要条件，可得不等式解集的包含关系，从而求出m的范围【解答】解：（）：x0R，x023ax0+90为假命题，等价于xR，x23ax+90为真命题，=9a24902a2，实数a的取值范围是2a2；（）由x2+2x804x2，另由xm0，即xm，“x2+2x80”是“xm0”的充分不必要条件，m4故m的取值范围是m419已知双曲线C：=1 的离心率是，其一条准线方程为x=（）求双曲线C的方程；（）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若=，求实数的取值范围【考点】双曲线的简单性质【分析】（I）由题意可得，可求a，c，由b2=c2a2可求b，可求双曲线的方程（II）由（I）知A（2，0），设D（x0，y0），E（x1，y1）则由=，可得x1=，y1=，结合E，D在双曲线上，可求x0，结合双曲线的性质可求的取值范围【解答】解：（I）由题意可得，a=，c=2，b=1，双曲线的方程为=1（II）由（I）知A（2，0），设D（x0，y0），E（x1，y1）则由=，可得x1=，y1=，E在双曲线上（）2（）2=1（2+x0）23（y0）2=3（1+）2D在双曲线可得x0=，D在双曲线的左支，点D在右支020如图，曲线c1：y2=2px（p0）与曲线c2：（x6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且=0（1）求曲线c1的方程；（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算【分析】（1）由对称性知MNx轴于点（6，0），且|MN|=12，可得M的坐标，代入抛物线方程，即可求曲线c1的方程；（2）利用点差法求出直线AB的斜率，可得AB的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式，可求线段AB的长度【解答】解：（1）由对称性知MNx轴于点（6，0），且|MN|=12所以M（6，6），所以62=2p6所以p=3所以曲线为y2=6x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）因为（3，2）是AB中点所以x1+x2=6，y1+y2=4则由点差法得k=所以直线l：3x2y5=0由所以由韦达定理所以|AB|=21已知A、B、C是椭圆M： =1（ab0）上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且（1）求椭圆M的方程；（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）根据点A的坐标求出a，然后根据求出b，综合即可求出椭圆M的方程（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围【解答】解：（1）点A的坐标为（，），椭圆方程为又，且BC过椭圆M的中心O（0，0），又，AOC是以C为直角的等腰三角形，易得C点坐标为（，）将（，）代入式得b2=4椭圆M的方程为（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t则满足题意的t的取值范围为2t2当直线l的斜率k0时，设直线l的方程为y=kx+t由得（3k2+1）x2+6ktx+3t212=0直线l与椭圆M交于两点P、Q，=（6kt）24（3k2+1）（3t212）0即t24+12k2 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，PQ中点H（x0，y0），则H的横坐标，纵坐标，D点的坐标为（0，2）由，得DHPQ，kDHkPQ=1，即，即t=1+3k2 k20，t1 由得0t4，结合得到1t4综上所述，2t422已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上（I）求椭圆C的标准方程；（）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求MNF2面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知得到关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；（）设直线AB的方程为x=my+1，m0，则直线CD的方程为x=y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，则MNF2面积为S=|F2H|yMyN|，化简整理，再令m+=t（t2），由于函数的单调性，即可得到最大值【解答】解：（）椭圆+=1（ab0）经过点P（，），且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，解得a2=2，b2=1，椭圆方程为；（）设直线AB的方程为x=my+1，m0，则直线CD的方程为x=y+1，联立，消去x得（m2+2）y2+2my1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（），将M的坐标中的m用代换，得CD的中点N（），kMN=，直线MN的方程为y+=（x），即为y=，令，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点H，且为H（，0），F2MN面积为S=|F2H|yMyN|=（1）|=|=|，令m+=t（t2），由于2t+的导数为2，且大于0，即有在2，+）递增即有S=在2，+）递减，当t=2，即m=1时，S取得最大值，为；则MNF2面积的最大值为xx2月14日