2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.2 换元法（练）理

2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.2 换元法（练）理1.练高考1. 【xx课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ， 2. 【xx课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z【答案】D【解析】令，则，则，则，故选D.3. 【xx浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】4.【xx课标II，理】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】（2）由（1）知 ，。设，则。当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增。 5.【xx课标3，理21】已知函数 .（1）若 ，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n ，求m的最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得 ；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为 6.【xx高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标. 【答案】（）;（）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.（）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.（ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.2.练模拟1.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】令，则，在区间上单调递增，转化为在上单调递增，又，当时，在恒成立，必有，可求得；当时，在恒成立，必有，与矛盾，所以此时不存在.故选C.2.不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】原不等式等价于,设解得.即,故选C.3.【xx届内蒙古赤峰市高三上学期期末】若,且,则_ 【答案】【解析】令，则.原式可化为，即，即故答案为.4.点在椭圆上，则点到直线的最大距离和最小距离分别为 .【答案】，【解析】由于点在椭圆上，可设，则，即，所以当时，；当时，5.【xx届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算判断其与的关系； （2）令，故，换元得，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3）由，得，即恒成立，求其最值即可.试题解析：（1）函数的定义域为，对任意， ，所以，函数是偶函数（2），令，因为，所以，故，原函数可化为， ，图像的对称轴为直线，当时，函数在时是增函数，值域为； 当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为综上， （3）由，得， 当时， ，所以，所以，所以， 恒成立 令，则， ，由，得，所以， 所以， ，即的取值范围为 3.练原创1若f(ln x)3x4，则f(x)的表达式为( )Af(x)3ln x Bf(x)3ln x4 Cf(x)3ex Df(x)3ex4【答案】D【解析】令ln xt，则xet，故f(t)3et4，得f(x)3ex4，故选D.2已知点A是椭圆25(x2)9(y2)1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且48，则点P的横坐标的最大值为( )A18 B15 C10 D.2(15)【答案】C3.已知在数列中，当时，其前项和满足.() 求的表达式；() 设，数列的前项和证明【答案】 (1);(2)见解析. 【解析】(1)当时，代入，得，由于，所以 令=，则=2，所以是首项为，公差为2的等差数列，即，所以 (2) 所以4. 已知函数（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；（2）当时，求函数的定义域；（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围【答案】（1）(2)当时，；时，（3）.【解析】（1）图象与轴恒有公共点(2)要使函数有意义，需满足，即，当时，；时，（3）时，令，是偶函数，只要讨论时函数图象与函数图象有两个公共点即可，以下只讨论时的情形图象恒过点，函数图象对称轴，时，根据函数图象，与图象只有一个公共点，不符题意，舍去；且时，单调递减，最大值为，图象与无交点，不符题意，舍去；且时，只要最大值即可，解得；综上.