2022年高考数学二轮复习 专题4 数列 第2讲 数列求和及综合应用 理

2022年高考数学二轮复习 专题4 数列 第2讲 数列求和及综合应用 理求数列的通项训练提示:求数列通项的常用方法有累加法、累积法、构造等比数列法或已知Sn与an关系,求an或利用方程思想联立方程组,求出基本量,得出an.解题时应注意各自的适用范围及注意验证n=1的情况.1.(xx宁夏石嘴山高三联考)已知各项都不相等的等差数列an的前7项和为70,且a3为a1和a7的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an(nN*),且b1=2,求数列（）的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d(d0),则解得所以an=2n+2.(2)因为bn+1-bn=an,所以bn-bn-1=an-1=2n(n2,nN*)bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=n(n+1).所以=-,所以Tn=1-+-+-=1-=.【教师备用】 (xx东北三校第二次联考)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=nan,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)当n=1时a2=S1+2=4=2a1,当n2时,an+1=2an,数列an满足an+1=2an(nN*),且a1=2,所以an=2n(nN*).(2)bn=nan=n2nTn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1两式相减,得-Tn=21+22+23+2n-1+2n-n2n+1-Tn=-n2n+1,Tn=2+(n-1)2n+1(nN*).求数列的前n项和训练提示:在数列求和的几种常见方法中,一定要注意其各自的适用范围,其中在裂项相消法中注意裂项后的恒等变形,在错位相减法中注意相减后,哪些项构成等比数列.2.(xx甘肃二诊)已知数列an中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n2,nN*).(1)求a2,a3,并证明an-n是等比数列;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Sn.解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n2,nN*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2an-1-(n-1),因为=2(n2,nN*).所以an-n是以2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1.即an=2n-1+n.所以bn=1+.设cn=,且前n项和为Tn,所以Tn=+Tn=+ -得Tn=1+（+）-=-=2-.所以Tn=4-,Sn=n+4-.【教师备用】 (xx郑州第二次质量预测)已知等差数列an的各项均为正数,a1=1,且a3,a4+,a11成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列公差为d,由题意知d0.因为a3,a4+,a11成等比数列,所以(a4+)2=a3a11,所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,所以d=(d=-舍去),所以an=.(2)bn=(-).所以Tn=(-+-+-)=.类型一:周期数列与通项公式1.(xx山西大同三模)在数列an中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(nN+)的个位数,则axx=.解析:a1a2=27=14,所以a3=4,47=28,所以a4=8,48=32,所以a5=2,28=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以从第三项起,an的值成周期排列,周期为6,xx=3356+5,所以axx=a5=2.答案:22.(xx赤峰市高三统考)数列an满足a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,nN*,则axx=.解析:因为a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,所以a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3,所以数列an是以6为周期的周期数列.所以axx=a6335+5=a5=-3.答案:-3类型二:由数列性质解决恒成立问题3.(xx辽宁沈阳一模)已知数列an,cn满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=.(1)求证数列an+1是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)求数列cn的前n项和Tn,并求使得am对任意nN+都成立的正整数m的最小值.解:(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),因为a1=1,a1+1=20,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列.所以an+1=22n-1,所以an=2n-1.(2)因为cn=(-),所以Tn=(-+-+-)=(-)=.所以=6+,nN*,所以6+15.所以当n=1时,取得最大值15.要使得am对任意nN*恒成立,结合(1)的结果,只需2m-115,由此得m4.所以正整数m的最小值是5.【教师备用】 (xx东北三校联合二模)已知数列an前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(nN*).(1)证明:an+2是等比数列,并求an的通项公式;(2)数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列()的前n项和,若Tna对正整数n都成立,求a的取值范围.解:(1)由题设Sn=2an-2n(nN*),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n2),两式相减得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2),又a1+2=4,所以an+2是以4为首项,2为公比的等比数列.an+2=42n-1,an=42n-1-2=2n+1-2(n2),又a1=2,所以an=2n+1-2(nN*).(2)因为bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1,=-,所以Tn=(-)+(-)+(-)=-,所以a,即a的取值范围为,+).类型三:数列的综合问题4.(xx山西大同三模)已知数列an的前n项和Sn满足an+3SnSn-1=0(n2,nN*),a1=,则nan的最小值为.解析:因为an+3SnSn-1=0(n2,nN*),所以Sn-Sn-1+3SnSn-1=0,因为a1=,显然SnSn-10,化简得-=3,可见()是以3为首项,3为公差的等差数列,所以=3+3(n-1)=3n,Sn=,从而nan=n(Sn-Sn-1)=-=(1-)(n2),要使nan最小,则需1-(n2)最小,即n=2时最小,此时nan=(1-2)=-(n2),当n=1时,nan=,故对任意的nN*,nan最小为-.答案:-5.(xx滨州模拟)已知数列an中,a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n为正整数.(1)证明:数列lg(an+1)为等比数列.(2)令bn=an+1,设数列bn的前n项积为Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)(an+1),求lg Tn.(3)在(2)的条件下,记cn=,设数列cn的前n项和为Sn,求证:Sn1.(1)证明:由题意得an+1=+2an,即an+1+1=(an+1)2,对an+1+1=(an+1)2两边取对数得lg(an+1+1)=2lg(an+1),因为a1=9,所以lg(a1+1)=lg 10=1,所以数列lg(an+1)是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)知lg(an+1)=2n-1.lg Tn=lg(a1+1)(a2+1)(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+lg(an+1)=所以lg Tn=2n-1.(3)证明:cn=-,Sn=(-)+(-)+(-)+(-)=1-1.