2022年高考数学二轮复习 3.3平面向量及其综合应用专题能力训练

2022年高考数学二轮复习 3.3平面向量及其综合应用专题能力训练一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(xx四川,文2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.62.(xx浙江宁波鄞州5月模拟,文2)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-3,2),则向量方向上的投影为()A.-B.C.-D.3.(xx浙江温州三适,文6)已知向量|a|=|b|=|a-b|=1,则|2b-a|=()A.2B.C.3D.24.(xx浙江宁波期末考试,文8)已知a,b满足|a|=5,|b|1,且|a-4b|,则ab的最小值为()A.B.-5C.D.-5.已知P是ABC所在平面内一点,若,则PBC与ABC的面积的比为()A.B.C.D.6.已知a,b,c满足|a|=|b|=,ab=,|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()A.4B.+1C.3+D.27.(xx浙江湖州第三次教学质量调测,文8)已知向量ab,|a-b|=2,定义:c=a+(1-)b,其中01.若c,则|c|的最大值为()A.B.C.1D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(xx浙江嘉兴教学测试(二),文10)若向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)a,则向量a与b的夹角等于;|a+b|=.9.(xx安徽,文15)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量;b为单位向量;ab;b;(4a+b).10.(xx浙江宁波鄞州5月模拟,文15)在ABC中,AC=3,A=,点D满足=2,且AD=,则BC的长为.11.(xx浙江第一次五校联考,文15)设a1,a2,an,是按先后顺序排列的一列向量,若a1=(-2 014,13),且an-an-1=(1,1),则其中模最小的一个向量的序号n=.三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)如图,已知在OCB中,点C是以A为中点的点B的对称点,D是将分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量;(2)若=,求实数的值.13.(本小题满分15分)已知向量m=(1,3cos ),n=(1,4tan ),且mn=5.(1)求|m+n|;(2)设向量m与n的夹角为,求tan(+)的值.14.(本小题满分16分)(xx陕西,文17)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.参考答案专题能力训练8平面向量及其综合应用1.B解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.2.C解析:由题意可知=(2,1),=(-2,1),所以向量方向上的投影为=-.故选C.3.B解析:因为|a|=|b|=|a-b|=1,所以|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2=1.所以ab=.所以|2b-a|2=4|b|2-4ab+|a|2=4-4+1=3.所以|2b-a|=.故选B.4.A解析:因为|a-4b|,所以|a|-4|b|,即|b|.所以|b|2.因为|a-4b|2=(a-4b)2=a2-8ab+16b2=|a|2-8ab+16|b|2=25-8ab+16|b|221,所以ab+2|b|2.所以ab的最小值是.故选A.5.A解析:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设A(xA,yA),P(xP,yP),C(xC,0),则,即(xP-xA,yP-yA)=(xC,0)-(xA,yA),所以xP-xA=xC-xA,yP-yA=0-yA,yP=yA.故.6.A解析:|a|=|b|=,ab=,a与b的夹角为60.设=a,=b,=c,建立如图所示的坐标系,则a=(,0),b=.设c=(x,y),则c-a-b=.又|c-a-b|=1,=1,即点C的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.|c|=表示点(x,y)到原点(0,0)的距离,|c|max=+1=4.故选A.7.C解析:由题意可设a=(a,0),b=(0,b),则由|a-b|=2可得a2+b2=4,由c可得a2+b2=a2+(1-)b2=1.又|c|2=2a2+(1-)2b2,且a2+(1-)b2-2a2-(1-)2b2=(1-)(a2+b2)0,所以|c|2=2a2+(1-)2b21.故选C.8.解析:(a-b)a,(a-b)a=0.a2=ab=2.cos=.=,|a+b|=.9.解析:在正三角形ABC中,=2a,|=2,所以|a|=1,正确;由=2a+b,得=b,因此正确,不正确;由的夹角为120,知a与b的夹角为120,所以不正确;因为=b,所以(4a+b)=4ab+b2=412+22=0,所以(4a+b).故正确.10.3解析:因为)=,所以|2+|cos 45+|2,即13=|2+|332,解得AB=3.又由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 45=9,所以BC=3.11.1 001或1 002解析:设an=(xn,yn),a1=(-2 014,13),且an-an-1=(1,1),数列xn是首项为-2 014,公差为1的等差数列,数列yn是首项为13,公差为1的等差数列.xn=n-2 015,yn=n+12.|an|2=(n-2 015)2+(n+12)2=2n2-4 006n+2 0152+122.可知当n=1 001或1 002时,|an|取到最小值.12.解:(1)由题意知,A是BC的中点,且,由平行四边形法则,得=2.故=2=2a-b,=(2a-b)-b=2a-b.(2)如题图,.又=(2a-b)-a=(2-)a-b,=2a-b,解得=.13.解:(1)由题意知mn=1+12cos tan =1+12sin =5,即sin =.因为,所以cos =,tan =.所以m=(1,2),n=(1,),m+n=(2,3).所以|m+n|=.(2)由(1)知m=(1,2),n=(1,),则cos =,sin =,所以tan =.所以tan(+)=.14.解:(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0.又sin B0,从而tan A=.由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得,从而sin B=.又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin.所以ABC的面积为absin C=.