2022年高考数学二轮专题复习 第二周 星期四 函数与导数习题 理

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2022年高考数学二轮专题复习 第二周 星期四 函数与导数习题 理函数与导数知识(命题意图:考查含参函数的单调区间的求解,考查应用导数解决方程解的个数问题以及不等式恒成立问题等)已知函数f(x)exmx2,g(x)mxln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m1时,试推断方程|g(x)|是否有实数解;(3)证明:在区间(0,)上,函数yf(x)的图象恒在函数yg(x)的图象的上方(1)解由题意可得:f(x)exm.当m0时,f(x) 0,所以当m0时,函数f(x)的单调增区间为(,)当m0时,令f(x)0,即exm0,可得xln(m);令f(x)0,即exm0,可得xln(m)所以当m0时,函数f(x)的单调增区间为ln(m),),单调减区间为(,ln(m)(2)解当m1时,g(x)xln x(x0),易得g(x)1.令g(x)0,可得0x1,令g(x)0,可得x1.故g(x)在x1处取得极大值,亦即最大值即g(x)g(1)1,|g(x)|1.令h(x),所以h(x).令h(x)0,可得0xe,令h(x)0,可得xe,故h(x)在xe取得极大值,亦即最大值h(x)h(e)1.所以方程|g(x)|无实数解(3)证明由题意可知本题即证:当x(0,)时,f(x)g(x)恒成立令F(x)f(x)g(x)exln x2(x0),则F(x)ex.令H(x)xex1,则H(x)exxexex(x1)又x(0,),H(x)0,函数H(x)在(0,)上单调递增H(0)1.又H(1)e10,设x0为函数H(x)的零点,则x0(0,1),即H(x0)x0ex010,即x0ex01,x0ex0,ex0,当x(0,x0)时,H(x)0,即x(0,x0)时,函数F(x)单调递减,当x(x0,)时,H(x)0,即x(x0,)时,函数F(x)单调递增x0为函数F(x)的极小值点,亦即最小值点,F(x)F(x0)ex0ln x02x02220,F(x)0,即x(0,)时,f(x)g(x),原题得证
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