2022年高考数学一轮复习 阶段回扣练（四） 三角函数、解三角形习题 理 新人教A版

2022年高考数学一轮复习 阶段回扣练（四） 三角函数、解三角形习题 理 新人教A版一、填空题1.(xx扬州期末)已知(0，)，cos ，则tan_.解析因为(0，)，cos ，所以sin ，所以tan ，从而tan.答案2.(xx宿迁调研)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为_.解析因为，所以cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，所以cos sin .答案3.(xx湖北七市(州)联考)将函数g(x)3sin图象上所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数f(x)的解析式为_.解析依题意，将函数g(x)的图象向左平移个单位长度得到的曲线方程是y3sin3cos 2x，再将各点横坐标缩短为原来的，得到的曲线方程是y3cos 4x，即f(x)3cos 4x.答案f(x)3cos 4x4.(xx江苏卷)已知函数ycos x与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_.解析由题意cossin，即sin，所以2k或2k(kZ)，因为0，所以.答案5.已知sin，则cos _.解析，cos，cos coscoscos sinsin .答案6.(xx合肥检测)函数f(x)sin 2xcos 2x图象的一条对称轴方程是_(填序号).x；x；x；x.解析依题意得f(x)2sin，且f2sin2，因此其图象关于直线x对称，故填.答案7.(xx南通调研)将函数f(x)sin(2x)(0)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于_.解析将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移后得到ysinsin，因为该函数是奇函数，且0，所以.答案8.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_m.解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理，得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m).答案500(1)m9.(xx南京、盐城调研)在ABC中，BC2，A，则的最小值为_.解析由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 2ABACABAC3ABAC，所以ABAC.所以ABACcosABAC，故()min.当且仅当ABAC时等号成立.答案10.(xx南通一模)在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为ABC的面积.若向量p(4，a2b2c2)，q(，S)满足pq，则C_.解析由pq，得(a2b2c2)4S2absin C，即sin C，由余弦定理的变式，得cos Csin C，即tan C，因为0C，所以C.答案11.(xx苏北四市模拟)在ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面积为，则BC边长为_.解析因为ABC的面积为ABACsin 120AC，解得AC5.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1209251549，所以BC7.答案712.如图所示的是函数yAsin(x)图象的一部分，则其函数解析式是_.解析由图象知A1，得T2，则1，所以ysin(x).由图象过点，可得2k(kZ)，又|，所以，所以所求函数解析式是ysin.答案ysin13.(xx扬州一检)锐角ABC中，若A2B，则的取值范围是_.解析因为ABC为锐角三角形，且A2B，所以所以B.因为A2B，sin Asin 2B2sin Bcos B，所以2cos B(，).答案(，)14.(xx苏北四市调研)已知，0，tan ，tan ，则2等于_.解析tan 2，tan(2)1.因为，1tan 0，所以，22.又0，tan 0，所以0.由知20，0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值.解(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T，2，故函数f(x)的解析式为y2sin1.(2)f 2sin12，即sin，0，故.16.(xx苏、锡、常、镇一模)设函数f(x)6cos2x2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)0且b2，cos A，求a和sin C.解(1)f(x)6sin 2x3cos 2xsin 2x32cos3.所以f(x)的最小正周期T，值域为32，32.(2)由f(B)0，得cos.B为锐角，2B，2B，B.cos A，A(0，)，所以sin A.在ABC中，由正弦定理得a.所以sin Csin(AB)sincos Asin A.17.(xx南京、盐城模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(cos A，cos C)，n(c2b，a)，且mn.(1)求角A的大小；(2)若ACBC，且BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积.解(1)由mn，得(2bc)cos Aacos C，所以(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，即2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A，即2sin Bcos Asin B，因为sin B0，所以cos A，于是A.(2)由(1)知A，又ACBC，所以C.设ACx，则MCx.在AMC中，由余弦定理得AC2MC22ACMCcos CAM2，即x22xcos()2，解得x2，故SABC22sin.18.(xx泰州调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C.(1)求角C的大小；(2)若ABC的外接圆直径为1，求a2b2的取值范围.解(1)因为tan C，即，所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即sin Ccos Acos Csin Acos Csin Bsin CcosB.得sin(CA)sin (BC).所以CABC，或CA(BC)(不成立).即2CAB，得C.(2)由C，设A，B，0A，B，知.又a2Rsin Asin A，b2Rsin Bsin B，故a2b2sin2Asin2B11cos 2.由，知2，cos 21，故a2b2.19.(xx淮安期中)如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD45.(1)求BC的长度；(2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的张角分别为APB，DPC，问点P在何处时，tan()最小？解(1)如图，作ANCD于N.因为ABCD，AB9，CD15，所以DN6，NC9.设ANx，DAN，因为CAD45，所以CAN45.在RtANC和RtAND中，tan ，tan(45)，因为tan(45)，所以，整理得x215x540，解得x118，x23(舍去).所以BC的长度为是18 m.(2)设BPt，所以PC18t，tan ，tan ，则tan()，当且仅当t27，即t1527时，tan()最小.20.(xx南京二模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD有一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC.(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值.解(1)在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos A.同理，在CBD中，BD2CB2CD22CBCDcos C.因为A和C互补，所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A，即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A.解得cos A，即f(x)，其中x(2，5).(2)四边形ABCD的面积S(ABADCBCD)sin Ax(9x)x(5x)x(7x)记g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5).由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得x4.函数g(x)在区间 (2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减.因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以S的最大值为6.