2022年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形习题 理 新人教A版(I)

2022年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形习题 理 新人教A版(I)一、填空题1.(xx哈尔滨模拟)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C_.解析法一SABC|AB|AC|sin A，即1sin A，sin A1，A90，C60.法二由正弦定理，得，即，C60或C120.当C120时，A30，SABC(舍去).而当C60时，A90，SABC，符合条件，故C60.答案602.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则角A的大小为_.解析由正弦定理，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2 A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A.答案3.(xx哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为_.解析a2b2c2bc，cos A，A，又bc4，ABC的面积为bcsin A.答案4.(xx泰州调研)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是_km.解析画出示意图如图，由条件知AB246(km).在ABS中，BAS30，AB6(km)，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3(km).答案35.(xx河南六市联考)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，SABC，则b的值为_.解析由SABCbcsin A，得bc3，又由余弦定理知a2b2c22bccos A，可得b2c26.由解得b.答案6.(xx北京卷)在ABC中，a3，b，A，则B_.解析由正弦定理知sin B，又因为ab，所以AB，所以B.答案7.(xx重庆卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.解析由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcos C4922316，所以c4.答案48.(xx江苏卷)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.解析由sin Asin B2sin C，结合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C1，故cos C的最小值为.答案二、解答题9.(xx四川卷)已知A，B，C为ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2pxp10(pR)的两个实根.(1)求C的大小；(2)若AB3，AC，求p的值.解(1)由已知，方程x2pxp10的判别式(p)24(p1)3p24p40，所以p2，或p，由根与系数的关系，有tan Atan Bp，tan Atan B1p，于是1tan Atan B1(1p)p0，从而tan(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以C60.(2)由正弦定理，得sin B，解得B45，或B135(舍去)，于是A180BC75，则tan Atan 75tan(4530)2，所以p(tan Atan B)(21)1.10.(xx苏北四市一检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积.解(1)由a2b2c2bc0，得b2c2a2bc，cos A，A，由2bsin Aa，得ba，BA.(2)设ACBCx，由余弦定理，得AM2x22x()2，解得x2，故SABC222.(建议用时：20分钟)11.已知钝角ABC的面积为，AB1，BC，则AC等于_.解析SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意.故AC.答案12.(xx南京师大附中模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，则c_.解析2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C，sin C0，cos C，C，SABC2absin Cab，ab8，又ab6，或c2a2b22abcos C416812，c2.答案213.(xx全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_.解析如图，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰CFB中，FCB30，CFBC2，所以BF.在等腰ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.答案(，)14.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且acbcos C.(1)求角B的大小；(2)若SABC，b，求ac的值.解(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bcos C，又因为A(BC)，所以sin Asin(BC)，可得sin Bcos Ccos Bsin Csin Csin Bcos C，即cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为SABC，所以acsin，所以ac4，由余弦定理可知b2a2c2ac，所以(ac)2b23ac131225，即ac5.