2022年高考数学 函数与方程思想专题突破教案

2022年高考数学 函数与方程思想专题突破教案典例分析：1、记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为B.(1) 求A； (2) 若BA, 求实数a的取值范围. （难度：） 解：(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(,2,1) 2、已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上为增函数，求的取值范围 解：（1）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立 ，即恒成立 又， 的取值范围是 解法二：当时，显然在为增函数 当时，反比例函数在为增函数，在为增函数 当时，同解法一 （难度）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围解：（I）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,则 即 .点在函数的图象上. 即 故g(x).(II)由可得：当1时，此时不等式无解。当时，因此，原不等式的解集为-1, . (III) 当时，在-1,1上是增函数，当时，对称轴的方程为(i) 当时，解得。(ii)当时，1时，解得综上, （难度）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-xx，xx上的根的个数，并证明你的结论.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;I） (II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,xx上有402个解,在-xx.0上有400个解,所以函数在-xx,xx上有802个解. （难度）3、设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）求；（）当时，恒有成立，求t的取值范围；（难度）4、已知函数 （I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 （难度）5、已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示，求（I）x0的值；（II）a ，b ，c的值。 （难度）=6、已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值 分析：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法满分12分 （）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且已知函数的图象在点M（1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间. 解：（1）由函数f(x)的图象在点M（1f(1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知 （难度）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【解析】:（），于是解得或因，故 (II)证明：已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。而函数。可知，函数的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。（III）证明：在曲线上任一点.由知,过此点的切线方程为.令得,切线与直线交点为.令得,切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以, 所围三角形的面积为定值2.【点评】：本题是函数与导数的综合题,主要考查导数的应用,以及函数的有关性质,以及函数与方程的思想,以及分析问题与解决问题的能力. （难度）7、已知求函数的单调区间. （难度） 解：函数f(x)的导数：（I）当a=0时，若x0，则0,则0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（II）当 由所以，当a0时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当a0，解得0x,由2x+ax20，解得x.所以当a0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（，+）内为减函数.已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得： （难度）8、设为实数，函数。 （）求的单调区间与极值；（）求证：当且时，。 （难度）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax 9分(ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，19、已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明： （）当时， （）当时，分析：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，满分14分。 证明：（）由 得 而 又 由、得即（）证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设，则令得，列表如下：极小值 对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，则，列表：极小值 即 即对任意两个不相等的正数，恒有已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函数f(x)的最大值；（）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.分析：本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分. （）解：函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （）证法一： 由（）结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 已知函数的图象在点处的切线方程为（）用表示出，;（）若在上恒成立，求的取值范围；（）证明：1+）（n1）