2022年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第05讲 函数解析式的求法

2022年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第05讲 函数解析式的求法【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.2、代入法：如果已知原函数的解析式，求复合函数的解析式时，可以用代入法.3、换元法：如果已知复合函数的解析式，求原函数的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元”的范围.4、解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式.【方法讲评】方法一待定系数法使用情景已知函数的类型.解题步骤根据已知先设出函数的解析式，再列方程（组）求待定系数.【例1】已知是一次函数，且满足，求. 【点评】（1）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（2）由于对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程组. 【例2】已知函数（的图形的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的解析式. 【解析】由题得【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方程（组）.(2)对于三角函数来说，一般利用最小正周期得到的方程，利用最值得到的方程，利用最值点得到的方程.【反馈检测1】已知为二次函数，且 ，且,图象在轴上截得的线段长为2,求的解析式. 方法二代入法使用情景（1）已知原函数的解析式，求复合函数的解析式；（2）已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式.解题步骤（1）直接代入原函数的解析式即可；（2）一般先在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程. 【例3】已知函数，求函数的表达式.【解析】由题得【点评】本题就是已知原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“”代换原函数中的“”即可.这就是代入法求函数的解析式. 【例4】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，求当时，的函数解析式. 【点评】本题就是已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握. 【反馈检测2】设函数的图象为，关于点对称的图象为， 求对应的函数的表达式. 方法三换元法使用情景已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.解题步骤先换元，求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.【例5】已知，求.【解析】令（），则，所以.【点评】（1）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.（2）换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反馈检测3】 已知求的解析式. 方法四解方程组法使用情景已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量.解题步骤利用已知构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可.【例6】已知满足，求【解析】 ，把中的换成，得 ，得，【点评】在已知的方程中有自变量和，它们互为倒数，所以可以把方程中的地方统一换成，从而又得到一个关于的方程，解关于的方程组即可.【反馈检测5】定义在区间上的函数满足，求的表达式. 方法五实际问题法使用情景实际问题解题步骤一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域. 【例7】某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，再把车速表示为时间的函数 【点评】实际问题中求函数的解析式难度比较大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.【反馈检测6】 某公司生产一种产品的固定成本为万元，但每生产件需要增加投入万元，市场对此产品的需要量为件，销售收入为函数 万元，其中是产品售出的数量（单位：百件）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第05讲：函数解析式的求法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】 【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】设是函数图象上任一点 ，则关于对称点为在 上，即：即： 故.【反馈检测3答案】 【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】【反馈检测6答案】（1）（2）当年产量为件时，公司所得利润最大. （2）当时，当年产量为件时，公司所得利润最大，该产品最多卖出件，根据问题的实际意义可得，当年产量为件时，公司所得利润最大.