2022年高考数学一轮复习 专题突破训练 数列 文

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2022年高考数学一轮复习 专题突破训练 数列 文一、选择、填空题1、(虹口区xx高三二模)设数列前项的和为若则2、(黄浦区xx高三二模)在等差数列中,若,则正整数 3、(静安、青浦、宝山区xx高三二模)设等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,若,且,则数列的公比 4、(浦东新区xx高三二模)已知数列的前项和,则该数列的通项公式 5、(普陀区xx高三一模)若无穷等比数列an的各项和等于公比q,则首项a1的取值范围是2a1且a106、(徐汇、松江、金山区xx高三二模)设等差数列的前项和为,若,则的值为 7、(闸北区xx高三一模)已知等比数列an前n项和为Sn,则下列一定成立的是()A若a30,则axx0B若a40,则axx0C若a30,则Sxx0D若a40,则Sxx08、(长宁、嘉定区xx高三二模)设等差数列满足,的前项和的最大值为,则=_9、(崇明县xx高三一模)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是10、等差数列的前10项和为,则_. 11、数列的通项,前项和为,则_.12、设正项数列的前项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则_13、(文)设数列是公差不为零的等差数列,若自然数满足,且是等比数列,则=_.二、解答题1、(xx高考)已知数列与满足,. (1)若,且,求数列的通项公式; (2)设的第项是最大项,即,求证:数列的第项是最大项;(3)设,求的取值范围,使得对任意,且.2、(xx高考)已知数列满足,(1)若,求的取值范围;(2)设是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比;(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围3、(xx高考)已知函数,无穷数列满足an+1=f(an),nN*(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a10,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.4、(奉贤区xx高三二模)设个不全相等的正数依次围成一个圆圈(1)设,且是公差为的等差数列,而是公比为的等比数列;数列的前项和满足,求数列的通项公式;(6分)(2)设,若数列每项是其左右相邻两数平方的等比中项,求;(4分)(3)在(2)的条件下,求符合条件的的个数(6分)5、(虹口区xx高三二模)设各项均为正数的数列的前n项和为且满足:(1)求数列的通项公式;(2)设(3)是否存在大于2的正整数使得若存在,求出所有符合条件的;若不存在,请说明理由.6、(黄浦区xx高三二模)已知数列满足,对任意都有 (1)求数列()的通项公式; (2)数列满足(),求数列的前项和; (3)设,求数列()中最小项的值7、(静安、青浦、宝山区xx高三二模)设是公比为的等比数列,若中任意两项之积仍是该数列中的项,那么称是封闭数列.(1)若,判断是否为封闭数列,并说明理由;(2)证明为封闭数列的充要条件是:存在整数,使;(3)记是数列的前项之积,若首项为正整数,公比,试问:是否存在这样的封闭数列,使,若存在,求的通项公式;若不存在,说明理由8、(浦东新区xx高三二模)记无穷数列的前项的最大项为,第项之后的各项的最小项为,令 (1)若数列的通项公式为,写出,并求数列的通项公式; (2)若数列递增,且是等差数列,求证:为等差数列;(3)若数列的通项公式为,判断是否等差数列,若是,求出公差;若不是,请说明理由9、(普陀区xx高三一模)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+an=4,nN*(1)求数列an的通项公式;(2)已知cn=2n+3(nN*),记dn=cn+logCan(C0且C1),是否存在这样的常数C,使得数列dn是常数列,若存在,求出C的值;若不存在,请说明理由(3)若数列bn,对于任意的正整数n,均有b1an+b2an1+b3an2+bna1=()n成立,求证:数列bn是等差数列10、(闸北区xx高三一模)设数列an满足:a1=1;所有项anN*;1=a1a2anan+1设集合Am=n|anm,mN*,将集合Am中的元素的最大值记为bm换句话说,bm是数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值我们称数列bn为数列an的伴随数列例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3(1)请写出数列1,4,7的伴随数列;(2)设an=3n1,求数列an的伴随数列bn的前20之和;(3)若数列an的前n项和Sn=n2+c(其中c常数),求数列an的伴随数列bm的前m项和Tm11、(长宁、嘉定区xx高三二模)已知函数,其中定义数列如下:,,(1)当时,求,的值;(2)是否存在实数,使,构成公差不为的等差数列?若存在,请求出实数的值;若不存在,请说明理由;(3)求证:当时,总能找到,使得12、(崇明县xx高三一模)已知等差数列满足,(1)求的通项公式;(2)若,数列满足关系式,求数列的通项公式;(3)设(2)中的数列的前项和,对任意的正整数,恒成立,求实数p的取值范围13、已知复数,其中,是虚数单位,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求和:;.14、已知数列对任意的满足:,则称为“Z数列”.(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;(2)若正数列,数列是“Z数列”,数列是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列,使得是“Z数列”; (3)若数列是“Z数列”,设求证15、已知数列的前项和为,且对于任意,总有.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择、填空题1、2、3、4、5、解:无穷等比数列an的各项和等于公比q,|q|1,且=q,a1=q(1q)=q2+q=(q)2+,由二次函数可知a1=(q)2+,又等比数列的项和公比均不为0,由二次函数区间的值域可得:首项a1的取值范围为:2a1且a10故答案为:2a1且a106、17、解答:解:对于选项A,可列举公比q=1的等比数列1,1,1,1,显然满足a30,但axx=10,故错误;对于选项B,可列举公比q=1的等比数列1,1,1,1,显然满足a40,但axx=0,故错误;对于选项D,可列举公比q=1的等比数列1,1,1,1,显然满足a20,但Sxx=0,故错误;对于选项C,因为a3=a1q20,所以 a10当公比q0时,任意an0,故有Sxx0;当公比q0时,qxx0,故1q0,1qxx0,仍然有Sxx =0,故C正确,故选C8、29、10、 12; 11、 7; 12、 13、 二、解答题1、【答案】(1);(2)详见解析;(3).(3)因为,所以,当时, ,由指数函数的单调性知,的最大值为,最小值为,由题意,的最大值及最小值分别是及,由及,解得,综上所述,的取值范围是.2、解答:(1)由条件得且,解得所以的取值范围是(2)设的公比为由,且,得因为,所以从而,解得时,所以,的最小值为,时,的公比为(3)设数列的公差为由,得,当时,所以,即当时,符合条件 当时,所以,又,所以综上,的公差的取值范围为3、【答案】 (1) (2)(3)【解析】 (1) (2)分情况讨论如何:(3)讨论如下:4、解:(1)因是公比为的等比数列,从而 1分由, 2分故解得或(舍去) 3分因此,又 ,解得 4分 从而当时, 5分 当时,由是公比为的等比数列得 6分因此 6分(2)由题意 7分得, 8分 9分依此类推 10分(3)猜想: ,一共有335 11分得 又,故有 12分. 13分若不然,设若取即,则由此得,而由得 得 14分由得而此推得()与题设矛盾 15分同理若P=2,3,4,5均可得()与题设矛盾, 因此为6的倍数. 16分5、解:(1)由及 两式相减,得 3分 由于各项均为正数,故由上式,可得 于是数列是以为首项,2为公差的等差数列,其通项公式为:6分 (2)因为 8分故10分于是 12分(3)假设存在大于2的正整数使得由(1),可得 从而 14分由于正整数均大于2,知 16分故由得因此,存在大于2的正整数使得18分6、解(1) 对任意都有成立, 令,得 数列()是首项和公比都为的等比数列 (2) 由(),得() 故 当时, 于是, 当时,; 当时, 又时, 综上,有 (3), , 数列()是单调递增数列,即数列中数值最小的项是,其值为3 7、解:(1)不是封闭数列,因为, 1分对任意的,有, 2分若存在,使得,即,该式左边为整数,右边是无理数,矛盾所以该数列不是封闭数列 4分(2)证明:(必要性)任取等比数列的两项,若存在使,则,解得.故存在,使, 6分下面证明整数对,若,则取,对,存在使,即,所以,矛盾,故存在整数,使 8分(充分性)若存在整数,使,则,对任意,因为,所以是封闭数列. 10分(3)由于,所以,11分因为是封闭数列且为正整数,所以,存在整数,使,若,则,此时不存在所以没有意义12分若,则,所以, 13分若,则,于是,所以, 16分若,则,于是,所以, 17分综上讨论可知:,该数列是封闭数列 18分8、解:因为数列单调递增, 所以;2分 当时, 数列的通项公式 4分(2)数列递增,即,令数列公差为 6分 所以为等差数列.10分(3)数列的通项公式为,递减且.12分 由定义知,14分 ,数列递增,即16分 18分9、解答:(1)解:且Sn+an=4,nN*当n2时,Sn1+an1=4,an+anan1=0,即当n=1时,2a1=4,解得a1=2数列an是等比数列,an=22n(2)解:dn=cn+logCan=2n+3+=2n+3+(2n)logC2=(2logC2)n+3+2logC2,假设存在这样的常数C,使得数列dn是常数列,则2logC2=0,解得C=存在这样的常数C=,使得数列dn是常数列,dn=3+=7(3)证明:对于任意的正整数n,均有b1an+b2an1+b3an2+bna1=()n成立(*),b1an+1+b2an+bna2+bn+1a1=(*)两边同乘以可得:b1an+1+b2an+bna2=可得bn+1a1=,(n3)又2b1=,解得b1=b1a2+b2a1=,+b22=,解得b2=当n=1,2时,也适合,(nN*)是等差数列10、解答:解:(1)数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,(后面加3算对),(2)由,得当1m2,mN*时,b1=b2=1,当3m8,mN*时,b3=b4=b8=2,当9m20,mN*时,b9=b28=b20=3,b1+b2+b20=12+26+312=50,(3)a1=S1=1+c=1,c=0,当n2时,an=SnSn1=2n1,由an=2n1m得:因为使得anm成立的n的最大值为bm,所以,当m=2t1(tN*)时:,当m=2t(tN*)时:,所以11、(1)因为,故, (1分)因为,所以,(2分), (3分) (4分)(2)解法一:假设存在实数,使得,构成公差不为的等差数列 则得到,(2分)因为,成等差数列,所以, 3分所以,化简得,解得(舍), (5分)经检验,此时的公差不为0,所以存在,使得,构成公差不为的等差数列 (6分)方法二:因为,成等差数列,所以,即, (2分)所以,即因为公差,故,所以解得 (5分)经检验,此时,的公差不为0所以存在,使得,构成公差不为的等差数列 (6分)(3)因为, (2分)又 , 所以令 (3分)由,将上述不等式全部相加得,即, (5分)因此要使成立,只需,所以,只要取正整数,就有综上,当时,总能找到,使得12、解:(1)等差数列满足得所以,(2)由上时,由于当时,所以(3)由得对一切恒成立,由于为减函数,所以,取值范围是。13、解:(1),. 由得, 数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列, (2)由(1)知,. 令, () 将()式两边乘以3得 () 将()减()得. , 14、解:(1)设等差数列的首项,公差, 所以任何的等差数列不可能是“Z数列” 或者根据等差数列的性质: 所以任何的等差数列不可能是“Z数列” (2)假设是等比数列,则 是“Z数列”,所以 ,所以不可能是等比数列, 等比数列只要首项公比 其他的也可以: 等比数列的首项,公比,通项公式 恒成立, 补充说明:分析:, 根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以 (3)因为 , 同理: 因为数列满足对任意的 所以 15、(1)当时,由已知,得. 当时,由,两式相减得, 即,所以是首项为,公比为的等比数列. 所以,() (2)由题意,故,即, 因为,所以,即,解得, 所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项 所以这个等差数列所有项的和 所以, (3)由(1)知,所以 由题意,即对任意成立, 所以对任意成立 因为在上是单调递增的,所以的最小值为. 所以.由得的取值范围是. 所以,当时,数列是单调递减数列
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