2022年高考数学大一轮复习 6.5数列的综合应用试题 理 苏教版

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资源描述
2022年高考数学大一轮复习 6.5数列的综合应用试题 理 苏教版一、填空题1已知各项均不为0的等差数列an,满足2a3a2a110,数列bn是等比数列,且b7a7,则b6b8_.解析因为an为等差数列,所以a3a112a7,所以已知等式可化为4a7a0,解得a74或a70(舍去),又bn为等比数列,所以b6b8ba16.答案162在数列an中,a11,a22,an2an1(1)n(nN*),则S100_.解析 n为奇数时,a1a3a5a991;n为偶数时,a22,a44,a66,a1002492100.所以S100(246100)50502 600.答案 2 6003各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S102,S3014,则S40_.解析 设S20x,S40y,则由题意,得2,x2,14x,y14成等比数列于是由(x2)22(14x)及x0,得x6,所以y1416,y30.答案 304 等比数列an中,a11,an(n3,4,),则an的前n项和为_解析 设anqn1,则由an,得q2,解得q1或q.所以an1或ann1,从而Snn或Sn.答案 n或5对正整数n,若曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和为_解析由题意,得ynxn1(n1)xn,故曲线yxn(1x)在x2处的切线的斜率为kn2n1(n1)2n,切点为(2,2n),所以切线方程为y2nk(x2)令x0得an(n1)2n,即2n,则数列的前n项和为222232n2n12.答案2n126在数列an中,若aap(n1,nN*,p为常数),则称an为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断:若an是等方差数列,则a是等差数列;(1)n是等方差数列;若an是等方差数列,则akn(kN*,k为常数)也是等方差数列其中真命题的序号为_(将所有真命题的序号填在横线上)解析正确,因为aap,所以aap,于是数列a为等差数列正确,因为(1)2n(1)2(n1)0为常数,于是数列(1)n为等方差数列正确,因为aa(aa)(aa)(aa)(aa)kp,则akn(kN*,k为常数)也是等方差数列答案7设an是公比为q的等比数列,|q|1,令bnan1(n1,2,),若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中,则6q_.解析由题意知an有连续四项在集合54,24,18,36,81中,四项24,36,54,81成等比数列,公式为q,6q9.答案98设Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2a52am,则m_.解析(1)当公比q1时,29a13a16a1,则a10,舍去(2)当公比q1时,2,2q61q3,则2a2q6a2a2q3,即2a8a2a5,从而m8.答案89若数列an,bn的通项公式分别是an(1)n2 010a,bn2,且anbn对任意nN*恒成立,则常数a的取值范围是_解析由anbn,得(1)na2.若n为偶数,则a2对任意正偶数成立,所以a2;若n为奇数,则a2对任意正奇数成立,所以a2.故2a.答案10如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项,如下表所示:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去,则a2 009a2 010a2 011_.解析观察发现,a2nn,且当n为奇数时,a2n1a2n10,所以a2 009a2 010a2 01101 005.答案1 005二、解答题11定义一种新运算*,满足n*knk1(n,kN*,为非零常数)(1)对于任意给定的k值,设ann*k(nN*),求证:数列an是等差数列;(2)对于任意给定的n值,设bkn*k(kN*),求证:数列bk是等比数列;(3)设cnn*n(nN*),试求数列cn的前n项和Sn.(1)证明因为ann*k(nN*),n*knk1(n,kN*,为非零常数),所以an1an(n1)*kn*k(n1)k1nk1k1.又kN*,为非零常数,所以an是等差数列(2)证明因为bkn*k(kN*),n*knk1(n,kN*,为非零常数),所以.又为非零常数,所以bk是等比数列(3)解cnn*nnn1(nN*,为非零常数),Snc1c2c3cn0232nn1,当1时,Sn123n;当1时,Sn2233nn.,得Sn.综上,得Sn12已知在正项数列an中,a12,点An(,)在双曲线y2x21上,数列bn中,点(bn,Tn)在直线yx1上,其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列bn是等比数列;(3)若cnanbn,求证:cn1cn.(1)解由已知点An在y2x21上知,an1an1,数列an是一个以2为首项,以1为公差的等差数列,ana1(n1)d2n1n1.(2)证明点(bn,Tn)在直线yx1上,Tnbn1,Tn1bn11(n2),两式相减得bnbnbn1(n2),bnbn1,bnbn1.令n1,得b1b11,b1,bn是一个以为首项,以为公比的等比数列(3)证明由(2)可知bnn1.cnanbn(n1),cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)(2n1)0,cn1cn.13 已知数列an,anpnqn(p0,q0,pq,R,0,nN*)(1)求证:数列an1pan为等比数列;(2)数列an中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由(3)设A(n,bn)|bn3nkn,nN*,其中k为常数,且kN*,B(n,cn)|cn5n,nN*,求AB.解 (1)证明:anpnqn,an1panpn1qn1p(pnqn)qn(qp)0,q0,pq.q为常数,数列an1pan为等比数列(2)取数列an的连续三项an,an1,an2(n1,nN*),aanan2(pn1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pq)2,p0,q0,pq,0,pnqn(pq)20,即aanan2,数列an中不存在连续三项构成等比数列(3)当k1时,3nkn3n15n,此时AB;当k2时,3n2n5n,发现n1符合要求,下面证明唯一性(即只有n1符合要求),由3n2n5n得nn1,设f(x)xx,则f(x)xx是R上的减函数,f(x)1的解只有一个,从而当且仅当n1时nn1,即3n2n5n,此时AB(1,5);当k4时,3n4n5n,发现n2符合要求,同理可证明唯一性(即只有n2符合要求),从而当且仅当n2时nn1,即3n4n5n,此时AB(2,25),综上,当k1,k3或k5时,AB;当k2时,AB(1,5),当k4时,AB(2,25)14 已知数列an满足:an1|an1|(nN*)(1)若a1,求a9与a10的值;(2)若a1a(k,k1),kN*,求数列an前3k项的和S3k(用k,a表示);(3)是否存在a1,n0(a1R,n0N*),使得当nn0时,an恒为常数?若存在,求出a1,n0;若不存在,说明理由解 (1)a1,a2,a3,a4,a5,a6,所以a9,a10.(2)a1a,a2a1,akak1,ak1ak(0,1),ak2k1a(0,1),ak3ak,a3k1ak,a3kk1a,所以S3kka12(k1)kk.(3)()当a10,1时,a21a1,此时,只需1a1a1,a1,所以a1,n01是满足条件的一组解;()当a11时,不妨设a1m,m1),mN*,此时,am1a1m0,1),则a1m,a1m,所以取a1m,n0m1满足题意;()当a10时,不妨设a1(l,l1),lN*,则a21a1(l,l1),al2a2l(0,1),此时,只需a2l,即a1l,所以取a1l,n0l2满足题意综上,满足题意的a1,n0有三组:a1,n01;a1m,n0m1,mN*;a1l,n0l2,lN*.
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