2022年高中数学 第四讲《数学归纳法证明不等式》教案（1） 新人教版选修4-5

2022年高中数学 第四讲数学归纳法证明不等式教案（1） 新人教版选修4-5数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。例题精讲例1、用数学归纳法证明分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤证明：1当n=1时，左边=1-=，右边=，所以等式成立。2假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法设要证命题为P（n）（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（kN且kn0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。练习：1.用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析：由题意知n3，应验证n=3.答案：C2.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nN证明：(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立.由知，当nN*时，42n+1+3n+2能被13整除.例2、求证：分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立（2）假设当时命题成立，即则当时， 所以则当时，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立点评：本题在由到时的推证过程中， （1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：例3、已知，用数学归纳法证明：证明：（1）当n=2时，命题成立（2）假设当时命题成立，即则当时， 所以则当时，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立点评：本题在由到时的推证过程中， （1）不等式左端增加了项，而不是只增加了“”这一项，否则证题思路必然受阻；（2）应用了放缩技巧：练习：1、证明不等式：分析1、数学归纳法的基本步骤：设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标证明：（1）当n=1时，不等式成立（2）假设n=k时，不等式成立，即那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立根据（1）（2）可知不等式对nN+都成立 2.求证：用数学归纳法证明 证明：（1） 当n=1时， ，不等式成立；当n=2时， ，不等式成立；当n=3时， ，不等式成立（2）假设当时不等式成立，即 则当时，（*）从而，即当时，不等式也成立由（1），（2）可知，对一切都成立点评： 因为在（*）处，当时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移3求证：，其中，且分析：此题是xx年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明（1）当m=2时，不等式成立（2）假设时，有，则 ，即从而， 即时，亦有由（1）和（2）知，对都成立证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明当，且时，例4、（xx年江西省高考理科数学第21题第（1）小题，本小题满分12分）已知数列 证明求数列的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切（2）下面来求数列的通项：所以 则又bn=1，所以点评：本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷练习：1.试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn2bn.分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1akc+cka.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明：当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1根据、可知不等式对n1,nN*都成立 二.基础训练一、选择题1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A.30B.26C.36D.6解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36.答案：C二、填空题2.观察下列式子：则可归纳出_.解析：(nN*)(nN*)3.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_.、 三、解答题4.若n为大于1的自然数，求证：.证明：(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即所以：对于nN*，且n1时，有5.已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立.假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当 0a1时，Snlogabn+16.设实数q满足|q|1,数列an满足：a1=2,a20,anan+1=qn,求an表达式，又如果S2n3,求q的取值范围.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1两式相除，得,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)综合，猜想通项公式为an=下证：(1)当n=1,2时猜想成立(2)设n=2k1时，a2k1=2qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k,所以a2k+2=qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.这样所求通项公式为an=S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) (q+q2+qn)由于|q|1,=依题意知3,并注意1q0,|q|1解得1q0或0q三.巩固练习1. （06 年湖南卷. 理 .19本小题满分14分）已知函数,数列满足:证明:();().证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识.2. （ 05 年辽宁卷.19本小题满分12分）已知函数设数列满足，数列满足 （）用数学归纳法证明； （）证明分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力 （）证明：当 因为a1=1，所以下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意nN*都成立。 （）证明：由（）知， 所以 故对任意）3.（05 年湖北卷.理22.本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取N=1024，可使当nN时，都有