2022年高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题01 三角解答题（含解析）

2022年高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题01 三角解答题（含解析）三角函数与三角恒等变换综合题【背一背重点知识】1.熟悉诱导公式、同角关系式、两角和与差、倍角公式是化简求值的关键2.熟悉三角函数的图像是解决有关性质问题的前提3.切化弦、变角处理是三角化简与求值的常用手段【讲一讲提高技能】1.必备技能：高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数的性质之中.常需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质.2.典型例题：例1已知函数满足，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.（1）求与的值；（2）若，求的值.分析：（1）由可解得，因此根据辅助角公式可得，再由图象的相邻两条对称轴间的距离为可推出的周期为，故；（2）由（1）及条件，从而可得，再由可得，从而，因此，考虑到，因此用两角和的余弦公式，即可求得.【解析】（1）， 由相邻两条对称轴间的距离为，又，；（2）， 又，即，.例2已知函数的最大值为（12分）（）求常数的值；（）求函数的单调递增区间；（）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值分析：（1）化简，由最大值为，由三角函数的有界性可求；（2）由正弦函数的单调性，解不等式即可；（3）由题意的图象向左平移个单位，得到函数的图象可得的解析式，根据，可求在在区间上的最大值和最小值【解析】（3）由题意将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，取最大值，当时，取最小值-3.【练一练提升能力】1.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，且（1）若，求的值；（2）若也是单位圆上的点，且过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为设，求函数的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（2）由，得由定义得，又，于是， = ，即2. 已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在上的最小值和最大值.【解析】三角函数与平面向量综合题【背一背重点知识】1.向量是具有大小和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时要注意数形结合思想的应用2.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以实现与三角函数无缝对接.3.两向量平行与垂直关系、向量数量积、向量的模等知识点是与三角函数知识的交汇点【讲一讲提高技能】1必备技能：等价转化能力，主要是将向量形式的条件等价转化为三角函数的等量关系，再利用三角恒等变换实现解决问题目的，如2典型例题：例1已知向量，函数，.（1）求函数的图像的对称中心坐标；（2）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像. 【答案】（1）；（2）.【解析】 4分由于得：，所以.所以的图像的对称中心坐标为 6分（2）=，列表：描点、连线得函数在上的图象如图所示： 12分例2已知向量，函数，（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）当x时，求函数的值域【答案】（1） ，单调递增区间是； （2） 函数的值域是【解析】【练一练提升能力】1.已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值【解析】（1，（2）， ，=7 2. 如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点在单位圆上，且 （1）求的值；（2）设，四边形的面积为， ，求的最值及此时的值【答案】（1）；（2）当时，【解析】 三角函数与三角形综合题【背一背重点知识】1.正余弦定理，三角形面积公式2.根据已知条件，正确合理选用正余弦定理.一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理3.关注三角形中隐含条件，如【讲一讲提高技能】1必备技能：等价变形是应用三角函数解三角形时的注意点.大边对大角，在三角形中等价为大角对大正弦值.在解三角形时，由正弦值求角时一定要注意角的取值范围，否则易出现增根或失根.在三角形中求三角函数最值或取值范围更要挖掘三角形中隐含条件，密切注意角的范围对三角函数值的影响.2典型例题：例1 在中，角所对的边分别是，已知.(1)若的面积等于，求；(2)若，求的面积.分析：（）由，运用余弦定理可得，由的面积等于，运用三角形面积公式可得，联立即可解得；（）利用三角形内角和定理先将化为，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式化为，因为，若，求出A，B关系，利用正弦定理求出关系，结合（）中结果求出，从而求出三角形面积.【解析】例2在中，角所对的边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积，求【答案】（1）；（2）6【解析】试题分析：（1）由已知；利用两角和与差的三角函数，展开整理可得 ，则 可求；（2）由（1）再由，可得，则根据余弦定理可求的值【练一练提升能力】1. 在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【解析】（1）由题意得，即，由得，又，得，即，所以；（2）由，得，由，得，从而，故，所以的面积为2.在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）求函数的值域【答案】（1）；（2）【解析】三角形与向量 综合题【背一背重点知识】1.三角形中的边长与内角和向量的模及夹角的对应关系2.向量加法、减法、投影、数量积、共线等几何意义在三角形中体现3.正余弦定理、面积公式中边长及角与涉及向量模及夹角关系【讲一讲提高技能】1必备技能：若分所成比为，则;若，则三点关线.夹角为钝角的充要条件是且不反向；同样夹角为锐角的充要条件是且不同向.2典型例题：例1已知中，角的对边分别为，且有. 求角的大小；设向量,且，求的值.分析：由正弦定理已知条件可化为即，从而得 ，故； 由得从而，代入得.【解析】例2 设的面积为，且.（1）求角的大小；（2）若，且角不是最小角，求的取值范围分析：（1）根据三角形面积公式及向量数量积得：，即，所以，又，所以.（2）因为角不是最小角，所以将面积化为B角函数，利用正弦定理现将边化为角：由正弦定理，得，所以，因此，所以. 【解析】【练一练提升能力】1.设锐角的三内角的对边分别为 （1）设向量，若与共线，求角的大小（2）若，且的面积小于，求角的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：第（1）小题设计为综合平面向量的共线定理，求角A的大小利用与共线，可得，然后化简得，再根据A的范围，可求得A的大小；第（2）小题设计为在面积小于的条件下，求角B的取值范围利用面积公式可得，所以解不等式得B的取值范围试题解析：（1）因为与共线，则，即，所以，即又为锐角，则，所以2. 已知函数，其中，若函数相邻两对称轴的距离等于（1）求的值；并求函数在区间的值域；（2）在中，、分别是角、的对边，若，求边、的长【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先把化为的形式，由函数相邻两对称轴的距离等于得，进一步求函数在区间的值域；（2）求出，再根据余弦定理求出边、的长.试题解析：（1），即的值域是（2）， 解答题（共10题）1. 已知向量且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角（1）求角C的大小；（2）若成等差数列，且，求c边的长【答案】（1）；（2）【解析】（2）由成等差数列，得，由正弦定理得，即由余弦弦定理， ，2. 已知向量，设函数.（1）求的单调增区间；（2）若 ,求的值【解析】 3. 在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且（1）求的值；（2）求的值【解析】（1）因为，所以，即：，所以，所以 （2）因为，所以，所以， 又点在角的终边上，所以 ，同理 所以：4. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表:（）请求出上表中的，并直接写出函数的解析式；（）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数，若函数在（其中）上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为，求与夹角的大小.【解析】 5.已知的面积为，且（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出的值即可；（2）由与的值，利用两角和与差的正切函数公式求出的值，进而求出的值，利用正弦定理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出试题解析：解：（1）设的角所对应的边分别为， （2），即， ，由正弦定理知：， 6. 已知向量，(1)求函数的单调递减区间及其图象的对称轴方程；(2)当时，若，求的值【解析】 7. 如图，在中，为钝角，为延长线上一点，且（）求的大小；（）求的长及的面积【解析】 8. 已知函数的图像经过点（1）求的值；（2）在中，、所对的边分别为、，若，且求【答案】（1）（2）【解析】 9. 已知函数（1）试将函数化为的形式，并求该函数的对称中心；（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用三角函数的和差公式化简得，再由三角函数的和差公式的逆运用得，令，即可求得函数对称中心 10. 已知向量，函数（）求函数的单调递增区间；（）在中，内角的对边分别为，且，若对任意满足条件的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（），；（）【解析】试题分析：（）先利用平面向量的数量积结合二倍角与两角和与差的正弦公式求得，再利用函数单调性求得单调递增区间；（）先用正弦定理把进行转换，求得角，再利用函数单调性求解