2022年高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题07 选讲内容（含解析）

2022年高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题07 选讲内容（含解析）几何证明选讲【背一背重点知识】1、比例线段有关定理（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。（2）平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。2、相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（2）相似三角形的性质：性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；性质:2：相似三角形周长的比等于相似比；性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。注：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。3、直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。4、圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。5、圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。6、圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。7、弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。8、与圆有关的比例线段（圆幂定理）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。【讲一讲提高技能】1、 相似三角形的判定与性质的应用（1） 判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义（2） 证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解 (3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等例1如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 .【解析】2、四点共圆的证明方法 （1）求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角；（2）当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。例2如图，在正中，点分别在边上，且，相交于点求证：（）四点共圆；（）【答案】（）见解析；（）见解析【解析】平面几何中有关角与比例线段问题的求解方法 （1）与切线有关的角度问题，应考虑应用弦切角的性质定理求解； （2）与切线有关的比例式或线段问题，应注意利用弦切角，确定三角形相似的条件，若条件不明显需添加辅助线 （3）与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理例3过点作圆的割线与切线为切点，连接，的平分线与，分别交于点（1）求证：；（2）若求的大小【答案】（1）见解析；（2）【解析】【练一练提升能力】1. 如图，为的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若则 .分析：根据切割线定理得，变形即得.【解析】由切割线定理得，所以，所以.2. 如图，为外一点，交于，切于为线段的中点，交于，线段的延长线与交于，连接求证：（）；（）【答案】详见解析【解析】极坐标与参数方程【背一背重点知识】1.平面直角坐标系中的伸缩变换：2.极坐标系（1）极坐标系的概念：平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.（2）直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式（3） 常见曲线的极坐标方程：曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线3、参数方程（1）参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.（2）参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.（3）常见曲线的参数方程： 圆的参数方程为 （为参数）；椭圆的参数方程为 （为参数）；双曲线的参数方程 （为参数）；抛物线参数方程 为参数）；过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）。【讲一讲提高技能】1、 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴正半轴重合，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化，极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造的形式，其中方程两边同乘以或同时平方是常用的变形方法，要注意变形的等价性。例1以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点若是等边三角形，则的值为_分析：根据极坐标与直角坐标的互化公式，得到圆、直线的直角坐标方程，由是等边三角形，得到其中一个交点坐标为，代入圆的方程即得.【解析】 2、参数方程与普通方程的互化方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2cos21等；将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解例2在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线过点的直线（为参数）与曲线相交于点两点（1）求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求实数的值【答案】（1），；（2）【解析】 3、利用参数方程解决问题的方法过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)对于形如 (t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等例3在极坐标系中，已知曲线，为曲线上的动点，定点（1）将曲线的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求、两点的最短距离【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：且曲线是以为圆心，为半径的圆；（2）【解析】【练一练提升能力】1. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标. 【答案】（）是参数，；（）【解析】（）设点M是C上任意一点，则由可得C的普通方程为：，即，所以C的参数方程为是参数，.（）设D点坐标为，由（）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同，故D点的直角坐标为，即.2. 已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】不等式选讲【背一背重点知识】1 三个正数的算术几何平均不等式：(1)定理3：如果a，b，c，那么，当且仅当时，等号成立即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(2) 基本不等式的推广：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1a2an 时，等号成立2. 柯西不等式：(1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) (acbd)2，当且仅当 时，等号成立(2)向量形式：设、是两个向量，则|，当且仅当是向量或存在实数k使k时等号成立(3)一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当0 (i1,2，n)或存在一个实数k，使得 (i1,2，n)时，等号成立(4)二维形式的柯西不等式变式：|acbd|； |ac|bd|.3. 排序不等式：(1) 乱序和、反序和与顺序和：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bnR，且a1a2a3an，b1b2b3bn，设c1，c2，c3，cn是数组b1，b2，b3，bn的任意一个排列，则分别将Sa1c1a2c2a3c3ancn，S1a1bna2bn1a3bn2anb1，S2a1b1a2b2a3b3anbn称为数组(a1，a2，a3，an)和数组(b1，b2，b3，bn)的乱序和,反序和，与顺序和(2)排序不等式(又称排序原理)：设a1a2an，b1b2b3bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于乱序和等于顺序和. 4. 绝对值不等式：(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当 时，等号成立【讲一讲提高技能】1、 绝对值不等式的解法（1） |axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|c(c0)caxbc；|axb|c(c0)axbc或axbc。（2） 、|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法：分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|；图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解注意求解的过程中应同解变形 .例1设 （）当，解不等式；（）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围【答案】（）；（） 【解析】绝对值不等式的证明含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理： |a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明例2已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】 3、不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。例3已知，证明分析：直接利用算术几何平均不等式可得，两式相乘即得要证不等式【解析】，,.【练一练提升能力】1. 已知，函数的最小值为4（）求的值；（）求的最小值【答案】（）；（）【解析】 2.设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)；(2).【答案】（略）【解析】(1)由， 得.由题设得，即.所以3()1，即.(2)因为，故2(abc)，即abc.所以1.解答题（共10题）1.如图，是的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是的割线，（1）证明：；（2）证明：【答案】（1）证明略；（2）证明略【解析】（2）由（1）知，又 ， ，又四边形DEGF为圆内接四边形， ， 2.如图,已知切于点E,割线PBA交于A、B两点,APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证:(); ().【解析】 3、如图,垂直于于,垂直于,连接.证明:(I) (II)【解析】 4、已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）分别写出曲线与曲线的普通方程；（2）若曲线与曲线交于两点，求线段的长【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系消去参数，得曲线，利用，得曲线；（2）把曲线和曲线联立消去得，结合弦长公式即可求得弦的长试题解析： （1）曲线，曲线（2）联立，得，设，则，于是故线段的长为5、已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.()求的轨迹的参数方程;()将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.【解析】 6、在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法 7、设不等式的解集为,且,.(1)求的值;(2)求函数的最小值.【解析】()因为,且,所以,且 解得,又因为,所以 ()因为 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 8、已知函数,（1）当时,解不等式: ； （2）若且,证明：，并求在等号成立时的取值范围【解析】（1）因为, 9、设函数（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）当时，对原函数进行分情况解不等式，得到原不等式的解集；（2）根据的解集为，得到，所以，所以，利用均值不等式得到，结论得证 10、已知函数,其中. (I)当时,求不等式的解集; (II)已知关于的不等式的解集为,求的值.【解析】当时，。，即。当时，即，解得；当时，即，不成立；当时，即，解得。所以不等式的解集为。4分（）解：记，则。