2022年高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲试题 理 苏教版

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2022年高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲试题 理 苏教版1如图,已知B在AC上,D在BE上,且ABBC21,EDDB21,求ADDF.解 如图,过D作DGAC交FC于G(还可过B作EC的平行线),DGBC.BCAC,DGAC.,DFAF,从而ADAF,故ADDF72.2. 如图,圆O1与O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证:ABAC为定值证明如图,连接AO1,并延长分别交两圆于点E和点D,连接BD、CE.圆O1与圆O2内切于点A,点O2在AD上,故AD、AE分别为圆O1,圆O2的直径从而ABDACE90.BDCE,于是,ABAC为定值3. 如图,ABC是直角三角形,ACB90,CDAB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证:FD2FBFC.证明E是RtACD斜边AC的中点,DEEA,A2.又12,1A.FDCCDB1901,FBDACBA90A,FDCFBD.又F是公共角,FBDFDC,FD2FBFC.4. 如图,在ABC中,CM是 ACB的平分线,AMC的外接圆O交BC于点N.若ACAB,求证:BN2AM.证明连结MN.因为CM是ACB的平分线,所以ACMNCM,所以AMMN.因为BB,BMNA,所以BMNBCA,所以2,即BN2MN2AM.5. 如图,梯形ABCD内接于O,ADBC,过点C作O的切线,交BD的延长线于点P,交AD的延长线于点E.(1)求证:AB2DEBC;(2)若BD9,AB6,BC9,求切线PC的长(1)证明ADBC,.ABCD,EDCBCD.又PC与O相切,ECDDBC.CDEBCD.CD2DEBC,即AB2DEBC.(2)解由(1)知,DE4,ADBC,PDEPBC,.又PBPD9,PD,PB.PC2PDPB.PC.6如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若A90,且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径解 (1)证明:连结DE,根据题意在ADE和ACB中,ADABmnAEAC,即.又DAECAB,从而ADEACB.因此ADEACB.所以C,B,D,E四点共圆(2)m4,n6时,方程x214xmn0的两根为x12,x212.故AD2,AB12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连结DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于A90,故GHAB,HFAC.从而HFAG5,DF(122)5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5.7. 如图,圆O是ABC的外接圆,延长BC边上的高AD交圆O于点E,H为ABC的垂心求证:DHDE.证明连结CE,CH.因为H为ABC的垂心,所以ECDBAD90ABC,HCD90ABC,所以ECDHCD.又因为CDHE,CD为公共边,所以HDCEDC,所以DHDE.8. 已知AD是ABC的外角EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交ABC的外接圆于点F,连接FB、FC.(1)求证:FBFC;(2)若AB是ABC外接圆的直径,EAC120,BC3,求AD的长(1)证明AD平分EAC,EADDAC.四边形AFBC内接于圆,DACFBC.EADFABFCB,FBCFCB,FBFC.(2)解AB是圆的直径,ACD90.EAC120,DACEAC60,D30.在RtACB中,BC3,BAC60,AC3,又在RtACD中,D30,AC3,AD6.9. 如图,从圆O外一点P作圆O的两条切线,切点分别为A、B,AB与OP交于点M,设CD为过点M且不过圆心O的一条弦,求证:O、C、P、D四点共圆证明PA、PB为圆O的两条切线,OP垂直平分弦AB,AMBM.在RtOAP中,OMMPAM2,在圆O中,AMBMCMDM,OMMPCMDM,又弦CD不过圆心O,O、C、P、D四点共圆.10. 如图,O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交O于N,过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证:PM2PAPC;(2)若O的半径为2,OAOM,求MN的长(1)证明连结ON.因为PN切O于N,所以ONP90.所以ONBBNP90.因为OBON,所以OBNONB.因为BOAC于O,所以OBNBMO90.所以BNPBMOPMN.所以PMPN.所以PM2PN2PAPC.(2)解OM2,BO2,BM4.因为BMMNCMMA(22)(22)8,所以MN2.11. 如图,已知C是以AB为直径的半圆O上一点,CHAB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.(1)求证:点F是BD的中点;(2)求证:CG是O的切线;(3)若FBFE2,求O的半径(1)证明CHAB,DBAB,AEHAFB,ACEADF.HEEC,BFFD.即点F是BD的中点(2)证明连接CB、OC,AB是直径,ACB90.F是BD的中点,CBFFCB.CBFBAC,BACACO,FCBACO.ACOOCB90,BCFOCB90.OCF90.CG是O的切线(3)解由FCFBFE,得FCEFEC.GGCH90,FAGFEC90,FAGG.FAFG,FBAG,ABBG.由切割线定理,得(2FG)2BGAG2BG2.在RtBGF中,由勾股定理,得BG2FG2BF2.由,得FG24FG120.解得FG6或FG2(舍去)ABBG4.O的半径为2.12如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证:ABAC为定值证明 连结AO1,并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD,CE.因为圆O1与圆O2内切于点A,所以点O2与AD上,故AD,AE分别为圆O1,圆O2的直径从而ABDACE.所以BDCE,于是.ABAC为定值
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