2022年高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析）湘教版

2022年高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析）湘教版【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.【题文】1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )A. B. C. D. 2 【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算L4 【答案解析】C 解析：由,依题有,即.选C.【思路点拨】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，bR）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b【题文】2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )A. B. C. D. 【知识点】简单随机抽样I1 【答案解析】B 解析：由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为.选B.【思路点拨】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率【题文】3.设偶函数满足,则( ) A. B. C. D. 【知识点】函数的奇偶性.B4 【答案解析】C 解析：当时,由,得,由图象对称性可知选C.【思路点拨】由函数的奇偶性解不等式可得结果.【题文】4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )A. B. 84 C. D. 36【知识点】二项式定理系数的性质.J3 【答案解析】B 解析：由二项式系数之和为,即,又令,则故常数项为.选B.【思路点拨】结合二项式定理，通过令x=-1，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n的值，利用二项式的通项，求出常数项即可【题文】5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】A 解析：由条件对应的集合为,条件对应.且依题意,可知,又,故.选A.输出y否是x4?x=x+1结束开始输入x【思路点拨】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义，即可得到结论【题文】6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,则输出的值为( )A. B. C. D. 【知识点】程序框图L1 【答案解析】A 解析：由于输入的初始值为,故 ,即.故选A.【思路点拨】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是解答此类问题的关键【题文】正视图112222侧视图俯视图7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. 2B2ACDP11C. D. 【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】B 解析：由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原为直观图如右所示,(由简到繁)，由俯视图侧视图正视图直观图,其为四棱锥,所以,选B.【思路点拨】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算【题文】8.设,若是的最小值,则的取值范围为( ) A. -1,2 B. -1,0 C. 1,2 D. 0,2【知识点】分段函数的应用B10 【答案解析】D 解析：当时,显然不是的最小值,当时,可知时, ,而当时,依题意,得, 所以即求. 选D.【思路点拨】分别由f（0）=a，综合得出a的取值范围【题文】9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 【知识点】正弦定理.C8 【答案解析】C 解析：由得,又为锐角,故, 于是,即.于是由余弦定理有, 即,解得,选C.【思路点拨】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即, 那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.APMHOx【题文】10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示xOA1pyxOB1pyxOC1pyxOD1py为的函数,则在上的图象大致为( )【知识点】函数的图像与性质.B10 【答案解析】C 解析：由,于是,由三角函数线有, ,于是的最大值为,故选C.【思路点拨】先由三角函数线得，再求最大值.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.【题文】11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段N3 H2【答案解析】 解析：由化为直角坐标方程为,于是极点到该直线的距离为,故答案为【思路点拨】先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得【题文】12.设均为正数,满足,则的最小值是 .【知识点】基本不等式E6 【答案解析】3 解析：，当且仅当x=3z时取“=”故答案为3【思路点拨】由x-2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可【题文】13.数列的前项和为,若,则 .【知识点】数列递推式.D1 【答案解析】 解析：由,可推出, -式得,于是,故.【思路点拨】借助于，可得，进而得到结果.【题文】14.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则 .【知识点】简单线性规划E5CAB1Oy=1-xxyy=2x-22【答案解析】或 解析：先作出可行域如右图: 又目标函数,依题意,所以当,即时,依题意有目标直线时,当其运动至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;同理当,即时,必有,即,即,综上可知,或 为所求. 【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=kx+y取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值AMBDOyx【题文】15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为 .【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题H5 H8 【答案解析】解析：由,得,如右图所示, 取中点,连结,则由几何意义知, ,又,故,即【思路点拨】本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线 交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分) xx年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.()求这组志愿者的人数;()现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;()现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.【知识点】概率的应用K6【答案解析】()10 () ()见解析解析：()设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;则依题意有,即2分 消去得,当且仅当时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;3分()记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”, 于是;7分()随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知.11分所以随机变量的分布列如下:123.12分【思路点拨】（I）设通晓英语的，通晓俄语的，通晓法语的人数，根据通晓英语的人的概率为，是通晓俄语的人数的概率为，列出关于所设的人数的表示式，解出结果（II）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有C51C31C21种结果，甲通晓俄语，乙通晓法语，则甲和乙不全被选中的对立事件是全被选中，先做出两个人全被选中的概率，用对立事件的概率公式得到甲和乙不全被选中的概率（III）随机变量X的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，进而可求3人所会的语种数X的分布列AOPQBxy【题文】17.(本小题满分12分)如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点.()若,求;()设点为单位圆上的动点,点满足 ,求的取值范围.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义C1 C7 【答案解析】() () 解析：()由三角函数定义可知,所以,即求5分()由三角函数定义知,所以所以,又因,故,即,于是,所以的取值范围是.12分【思路点拨】() 直接结合三角函数的定义求解sin，cos的值，然后，根据二倍角公式进行求值；() 首先求解f（），然后根据，确定f（）的取值范围【题文】ACDBC1A1B118.(本小题满分12分)直三棱柱中,点在上.()若是中点,求证:平面;()当时,求二面角的余弦值.【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法G4 G11 【答案解析】()见解析 () 解析：ACDBC1A1B1E()连接交于点,连接, 因为直三棱柱中侧面为矩形,所以 为的中点,又是中点, 于是,且面 , AC1平面B1CD 所以平面;6分 ()由知,即, 又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间yxzACDBC1A1B1 直角坐标系如右图所示,于是, 又,由平面几何易知, 显然平面的一个法向量为,又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为,则,又由图知 为锐角,所以其余弦值为.12分【思路点拨】() 通过作平行线，由线线平行证明线面平行；() 建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值【题文】19.(本小题满分13分)在数列中,已知.()求证:是等比数列;()令为数列的前项和,求的表达式.【知识点】数列的求和；等比关系的确定D3 D4 【答案解析() 见解析() 解析：()证明:由可得所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列6分() 由()得:,所以,所以令,则,两式相减得,所以,即13分【思路点拨】()此证明题应从结论中找方法，要证明数列an-n是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n）即可；()由()结论可求出bn，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和最后将结果综合起来【题文】20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.()求椭圆的方程;()设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题H5 H8 【答案解析】() () 解析：()依题意可设椭圆方程为,右焦点,由题设,得,故;故椭圆的方程为5分()如右图所示,设,的中点为,则由可知,即,可化为,且 8分又由得则得AxNMyPO且,得10分式代入式得,化简得,得,又代入式得,解得,综上可得,即为所求.13分【思路点拨】()依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为()设P为弦MN的中点，由,得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，0，即m23k2+1由此可推导出m的取值范围【题文】21.(本小题满分13分)已知函数.()求函数的单调区间;()若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;()求证:.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程B12 【答案解析】() 见解析() ()见解析解析：()由,.1分当时,显然时,当时,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,同理当时, 的单调递增区间为,递减区间为,当时,不是单调函数;.4分()由题知,得,所以. 所以,且,6分 令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根, 且注意到,所以不妨设,又,于是可知 时,又时, 即在上递减,在上递增,依题意可知,于是只须,7分又以上事实对恒成立.故,得;9分()分析:要证成立, 即证, 也即证,成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明.证明过程: 由()知当时,在上递增,所以11分也所以在上式中分别令得,以上同向正数不等式相乘得两边同除以得, ,即证.13分【思路点拨】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的()在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；()点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围()是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解