2022年高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）新人教A版

2022年高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）新人教A版【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的. 【题文】一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）【题文】1. 已知R是实数集，则NRM=（）A（1，2）B0，2C（0，2）D1，2【知识点】集合 A1【答案】【解析】D 解析：M=x|1=x|x0，或x2，N=y|y=+1=y|y1 ，CRM=x|0x2，故有 NCRM=y|y1 x|0x2=1，+）0，2=1，2，故选D【思路点拨】根据已知条件分别求出集合，再求两个集合的交集.【题文】2. 是z的共轭复数，若z+=2，（z）i=2（i为虚数单位），则z=（）A1+iB1iC1+iD1i【知识点】复数的运算 L4【答案】【解析】D 解析：由于，（z）i=2，可得z=2i 又z+=2 由解得z=1i故选D【思路点拨】根据复数的运算可直接计算出复数z.【题文】3. 已知命题p：函数y=ax+1+1（a0且a1）的图象恒过（1，2）点；命题q：已知平面平面，则直线m是直线m的充要条件；则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【知识点】命题 A2【答案】【解析】D 解析：当x+1=0时，x=1，此时y=1+1=2，即函数y=ax+1+1（a0且a1）的图象恒过（1，2）点，即命题p为真命题若直线m，则m或m，充分性不成立，若直线m，则m或m，必要性不成立，即直线m是直线m的既不充分也不必要条件，即命题q为假命题，则pq为真命题，故选：D【思路点拨】由题意可依据直线与平面平行的判定确定命题的真伪，再找出正确选项.【题文】4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）ABCD【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】B 解析：第一次执行循环结构：n0+2，x2t，a21；n=24，继续执行循环结构第二次执行循环结构：n2+2，x22t，a41；n=4=4，继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n4+2，x24t，a63；n=64，应终止循环结构，并输出38t由于结束时输出的结果不小于3，故38t3，即8t1，解得t故答案为：B【思路点拨】按程序所给定的过程进行计算，可直接求出结果.【题文】5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A6B8C8D12【知识点】三视图 G2【答案】【解析】A 解析：设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是 ，由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是 =4 由于其体积为 ，故有h=，得h=3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3=故选A【思路点拨】由三视图可找出几何体的原图数据，再计算出三棱柱的面积.【题文】6. 在下列直线中，与非零向量=（A，B）垂直的直线是（）AAx+By=0BAxBy=0CBx+Ay=0DBxAy=0【知识点】向量的运算 F2【答案】【解析】A 解析：Ax+By=0的方向向量是（B，A），AxBy=0的方向向量是（B，A），Bx+Ay=0的方向向量是（A，B），BxAy=0的方向向量是（A，B），与非零向量=（A，B）垂直的直线是Ax+By=0故选：A【思路点拨】由向量的定义与直线相互垂直的关系可求出正确结果.【题文】7. 在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）ABCD【知识点】向量的加减运算 F2【答案】【解析】A 解析：在ABC中，BAC=60，AB=2，AC=1，根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知BCA=90以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又E，F分别是RtABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（1，），=（1，）=1+=故选A【思路点拨】根据向量运算的三角形法则可分别求出，的坐标，再求出它们的数量积.【题文】8. 设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为（）A3BC5D7【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：由题意知，a0，=14ac=0，ac=4，c0，则 则2=3，当且仅当时取等号，则的最小值是 3故选A【思路点拨】由已知条件求出ac的值，再由基本不等式可求出的最小值.【题文】9. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，若数列的前n项和为Tn，则Txx的值为（）ABCD【知识点】数列与数列求和 D4【答案】【解析】C 解析：函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，由f（x）=x2+bx求导得：f（x）=2x+b，由导函数得几何含义得：f（1）=2+b=3b=1，f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），数列 的通项为 =，所以 的前n项的和即为Tn，则利用裂项相消法可以得到：=1所以数列的前xx项的和为：Txx=故选C【思路点拨】根据条件可求出函数与数列的关系，再利用裂项求和法求出数值.【题文】10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）ABCD【知识点】三视图 G2【答案】【解析】B 解析：该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上面粗，随时间的增加，可以得出高度增加的越越慢刚开始高度增加的相对快些曲线越“竖直”，之后，高度增加的越越慢，图形越平稳故选B【思路点拨】由三视图得到容器的形状，再由几何体的体积变化得到正确结果.二、填空题（每小题5分，5小题，共25分）【题文】11. 已知tan（）=，则cos（+2）的值为【知识点】三角函数的诱导公式 C2【答案】【解析】C 解析：设t=，即=t，tant=，则cos（+2）=cos（2t）=cos2t=故答案为：【思路点拨】由已知条件可利用整体变换角的形式化简求值.【题文】12. 有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是【知识点】概率 K2 K3【答案】【解析】C 解析：显然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9共10种情况根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边其中能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9三种情况，故概率是故填：【思路点拨】由已知求出各各种情况，再根据概率的定义求值即可.【题文】13. 若实数x，y满足的最小值是【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】C 解析：令t=x+2y作出不等式组表示的平面区域，如图所示由于t=x+2y可得y=，根据直线在y轴上的截距越大，t越大直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1故答案为：1 【思路点拨】由已知条件可求出可行域，再求出最小值.【题文】14. 圆心在直线x2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为【知识点】圆的标准方程 H3【答案】【解析】C 解析：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，圆C截x轴所得弦的长为2，t2+3=4t2，t=1，其中t=1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，（x2）2+（y1）2=4故答案为：（x2）2+（y1）2=4【思路点拨】根据已知条件可求出圆心到直线的距离、半径及弦的一半的关系求出圆心坐标，再列出方程.【题文】15. 函数在0，上是减函数；点A（1，1）、B（2，7）在直线3xy=0两侧；数列an为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列an的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值；定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x3y5=0其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）【知识点】三角函数；数列；函数的性质 B1 C3 D1【答案】【解析】C 解析：，y=sin（x）=cosx，在0，上是增函数，故错误；，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3xy得（311）（327）=20，故点A（1，1）、B（2，7）在直线3xy=0两侧，即正确；，数列an为递减的等差数列，a1+a5=0，又a1+a5=2a3，2a3=0，故当n=2或3时Sn取得最大值，故错误；，=a1b2a2b1，f（x）=x3+x2x，f（x）|x=1=（x2+2x1）|x=1=2，f（x）的图象在点（1，）处的切线方程为：y=2（x1），整理得：6x3y5=0，故正确；综上所述，正确答案为故答案为：【思路点拨】根据已知条件对各项进行分析判定，最后找出正确结果.三、解答题（6小题，共75分）【题文】16. 已知函数（其中为正常数，xR）的最小正周期为（I）求的值；（II）在ABC中，若AB，且，求【知识点】三角函数的化简求值 C7【答案】【解析】(I) =1 (II) 解析：=（4分）而f（x）的最小正周期为，为正常数，解之，得=1（6分）（2）由（1）得若x是三角形的内角，则0x，令，得，或，解之，得或由已知，A，B是ABC的内角，AB且，（10分）又由正弦定理，得（12分）【思路点拨】首先根据已知条件对函数式进行化简，根据化简结果求出的值，再根据条件求出三角形的三个角，利用正弦定理可求出【典例剖析】求三角函数周期的问题，一般要化成一个三角函数式，再对周期进行求解.【题文】17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计）即为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【知识点】概率 K1 K2 K3【答案】【解析】 P1P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大 解析：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积R2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=，又P1P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大【思路点拨】甲商场中奖概率为几何概型，可根据面积来求，乙商场可根据结果求出概率.【题文】18. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，ABC=90（I）求三棱柱ABCA1B1C1的表面积S；（II）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值【知识点】几何体的表面积；异面直线所成的角 G7 G11【答案】【解析】(I) 24+12 (II) 解析：（1）在ABC中，因为AB=2，AC=4，ABC=90，所以BC=（1分）SABC=ABBC=2（1分）所以S=2SABC+S侧=4+（2+2+4）4=24+12（3分）（2）连接BC1，因为ACA1C1，所以BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）（1分）在A1BC1中，A1B=2，BC1=2，A1C1=4，（1分）由余弦定理可得cosBA1C1=【思路点拨】根据几何体的表面积的构成可直接求出结果，第二步先找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出其余弦值.【题文】19. 已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2，a5，a14分别是等比数列bn的b2，b3，b4（）求数列an与bn的通项公式；（）设数列cn对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+cxx的值【知识点】数列的通项公式；数列求和 D2 D3 D4【答案】【解析】(I)(II) 解析：（）a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，a2，a5，a14成等比数列，（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，an=1+（n1）2=2n1；又b2=a2=3，b3=a5=9，q=3，b1=1，bn=3n1（）+=an+1，=a2，即c1=b1a2=3，又+=an（n2），=an+1an=2（n2），cn=2bn=23n1（n2），cn=c1+c2+cxx=3+23+232+23xx=3+2（3+32+3xx）=3+2=3xx【思路点拨】根据已知条件列出等差数列与等比数列的关系式，求出公差与公比，写出通项公式，找出数列cn的特点，再根据条件求出数值.【题文】20. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1（I）求四棱锥FABCD的体积VFABCD（II）求证：平面AFC平面CBF（III）在线段CF上是否存在一点M，使得OM平面ADF，并说明理由【知识点】几何体的体积；面面垂直的判定；线面平行的判定 G4 G5 G7 【答案】【解析】(I)(II)略(III) 略 解析：（1）AD=EF=AF=1OAF=60作FGAB交AB于一点G，则平面ABCD平面ABEFFG面ABCD（3分）所以（2）平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBFAF面AFC，平面AFC平面CBF；（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，OM平面DAF （12分）【思路点拨】根据几何体的体积公式可求出体积，再根据条件对几何关系进行证明.【题文】21.已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：【知识点】函数的性质；导数与导数的运算 B1 B11【答案】【解析】(I)略(II) (III)略 解析：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0， 1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（10分）（）令a=1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，【思路点拨】根据函数的导数可求出函数的单调区间，注意对字母a的讨论，再利用导数值进行求解，求出m的范围，最后对不等式利用导数进行证明.