高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第21练 三角函数的图象与性质练习 文

高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第21练 三角函数的图象与性质练习 文明考情三角函数的图象和性质是高考的热点，在解答题中和解三角形综合考查或单独命题，难度一般为中低档.知考向1.三角函数的最值问题.2.三角函数的图象及应用.3.三角函数图象与性质的综合应用.考点一三角函数的最值问题方法技巧求解三角函数最值的常用方法(1)有界性法：将yasin xbcos xc化为ysin (x)c.然后利用正弦函数的有界性求解.(2)换元法：对于yasin2xbsin xc(或yasin xcos xb(sin xcos x)c)型的函数最值，可设tsin x(或tsin xcos x).(3)利用数形结合或单调性.1.(xx浙江)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)由sin ，cos ，得f222，所以f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcos x，得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ).2.已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性.解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.3.已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)在区间(0，)上的单调递增区间；(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解(1)函数f(x)4cos xsin4cos x2sin xcos x2cos2x11sin 2xcos 2x12sin1，且f(x)的最小正周期是，所以1.从而f(x)2sin1；令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)在(0，)上的单调递增区间为和.(2)当x时，2x，所以2x，2sin，所以当2x，即x时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值1；所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，1.4.是否存在实数a，使得函数ysin2xacos xa在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，请说明理由.解y2a.当0x时，0cos x1，令tcos x，则0t1，y2a，0t1.当01，即0a2时，则当t，即cos x时，ymaxa1，解得a或a4(舍去)，故a；当0，即a0时，则当t0，即cos x0时，ymaxa1，解得a，由于a0，故这种情况不存在满足条件的a值；当1，即a2时，则当t1，即cos x1时，ymaxaa1，解得a，由于2，故这种情况下不存在满足条件的a值.综上可知，存在a符合题意.考点二三角函数的图象及应用要点重组三角函数图象的对称问题(1)yAsin(x)的对称轴为x(kZ)，对称中心为(kZ).(2)yAcos(x)的对称轴为x(kZ)，对称中心为(kZ).(3)yAtan(x)的对称中心为(kZ).方法技巧(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定值时，往往寻找“五点法”中的某一个点作为突破口.5.(xx长安区校级月考)已知函数f(x)Asin(x) 的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)当x时，求函数yff的最值.解(1)由函数f(x)Asin(x)的部分图象知，T，T2，1.又fAsinA，且0，；f(0)Asin 2，A4，f(x)4sin.(2)函数yff4sin4sin4sin4sin4sin x4cos x4cos x2sin x2cos x4sin，当x时，x，当x，即x时，函数y取得最小值4；当x，即x时，函数y取得最大值2.6.已知函数f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程；(2)当x时，求f(x)的最小值和最大值.解(1)依题意，得f(x)(sin x)(cos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期为T.令2xk(kZ)，得x(kZ)，故所求对称轴方程为x(kZ).(2)当0x时，2x，由函数图象可知sin1，即0sin.于是f(x)的最小值为0，最大值为.7.设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值时的x的集合；(2)说明函数yf(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变化得到(不用画图).解(1)因为f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos x，所以由辅助角公式，得f(x)sin.当sin1时，f(x)min，此时x2k(kZ)，所以x2k(kZ).所以f(x)的最小值为，此时x的集合为.(2)将函数ysin x图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到ysin x的图象；再将ysin x的图象向左平移个单位长度，得到f(x)sin的图象.8.某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知，f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x的图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，解得，kZ，由0可知，当k1时，取得最小值.考点三三角函数图象与性质的综合应用方法技巧求解三角函数问题的两个思想(1)整体思想：对于yAsin(x)的性质，可将x视为一个整体，设tx，解yAsin t，通过研究复合函数的性质达到求解目标.(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数性质.9.设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的对称轴方程.解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin1a，则f(x)的最小正周期T，且当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，f(x)单调递增.所以(kZ)为f(x)的单调递增区间.(2)当x时，2x，当2x，即x时，sin1.所以f(x)max1a2a1.由2xk(kZ)，得x(kZ)，故yf(x)的对称轴方程为x，kZ.10.已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)， 函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位长度后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间.解(1)由题意知，f(x)abmsin 2xncos 2x.因为yf(x)的图象过点和点，所以即解得(2)由(1)知，f(x)sin 2xcos 2x2sin.由题意知，g(x)f(x)2sin.设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知，x11，所以x00，即yg(x)图象上到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入yg(x)，得sin1，因为00，f(x)mn，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.(1)若f，求cos 的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)的单调递增区间.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解f(x)mncos xsin xcos(x)cos xcos xsin xcos xcos xsin.3分f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，T，1，f(x)sin.4分(1)f sin，sin，sin，cos.6分cos coscoscos sinsin .8分(2)f(x)经过变换可得g(x)sin，10分令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，g(x)的单调递增区间是，kZ.12分构建答题模板第一步化简变形：利用辅助角公式将三角函数化成yAsin(x)形式.第二步整体代换：将“x”看作一个整体，研究三角函数性质.第三步回顾反思：查看角的范围对函数影响，评价结果的合理性，检查步骤的规范化.1.(xx河西区一模)已知函数f(x)2sincossin 2x1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值.解(1)函数f(x)2sincossin 2x1sinsin 2x1cos 2xsin 2x12sin1，令2k2x2k，求得kxk，可得函数的单调递增区间为，kZ.(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)2sin12cos1的图象，在区间上，2x，故当2x时，即x时，函数取得最小值213；当2x，即x0时，函数取得最大值1.2.已知函数f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，可知函数f(x)在(kZ)上单调递增；令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，可知函数f(x)在(kZ)上单调递减.所以f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f ，f ，f ，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.3.(xx天津)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，B，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.4.(xx宣城二模)已知向量m(2acos x，sin x)，n(cos x，bcos x)，函数f(x)mn，函数f(x)在y轴上的截距为，函数f(x)与y轴最近的最高点的坐标是.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数ysin x的图象，求的最小值.解(1)f(x)mn2acos2xbsin xcos x，由f(0)2a，得a，此时，f(x)cos 2xsin 2x，由f(x)1，得b1或b1，当b1时，f(x)sin，经检验为最高点；当b1时，f(x)sin，经检验不是最高点，故舍去.故函数的解析式为f(x)sin.(2)函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数ysin的图象；横坐标伸长到原长的2倍后，得到函数ysin的图象，所以22k(kZ)，k(kZ)，因为0，所以的最小值为.5.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)g(x)m在0，2)内有两个不同的解，.求实数m的取值范围.证明：cos()1.(1)解将g(x)cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y2cos x的图象，再将y2cos x的图象向右平移个单位长度得到y2cos的图象，故f(x)2cos2sin x.从而函数f(x)2sin x图象的对称轴方程为xk(kZ).(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依题意，sin(x)在0，2)内有两个不同的解，当且仅当1，故m的取值范围是(，).证明因为，是方程sin(x)m在0，2)内的两个不同的解，所以sin()，sin() .当0m时，2，即2()；当m0时，2，即32()，所以cos()cos 2()2sin2()12211.