2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(III)

2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(III)一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的）1点A在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是（）AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l2直线经过点A（2，0），B（5，3），则直线的倾斜角（）A45B135C45D1353设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l4直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为3，而且它的倾斜角是直线xy=3倾斜角的2倍，则（）ABCD5已知直线l1：3x+2ay5=0，l2：（3a1）xay2=0，若l1l2，则a的值为（）AB6C0D0或6直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=（）A1B2CD47已知侧棱长为2a的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为9a，则棱锥的高为（）AaB2aC aD a8已知：平面平面，=l，在l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC=3，BD=12，则CD的长度（）A13BC12D159直线y=kx+1与圆（x1）2+（y1）2=1相交于A，B，两点，若|AB|，则k的取值范围（）A0，1B1，0C（，11，+）D1，110已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A7B7C7D811设点A（2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A（，+）B（，）C，D（，+）12已知圆O：x2+y2=16和点M（1，2），过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，则四边形ABCD面积的最大值（）A4BC23D25二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案分别填写在答题卡相应位置）13经过点（2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为14不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a1）y+7=0恒过定点15在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为16已知三棱锥SABC所在顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，BAC=120，则球O的表面积为三、解答题（共6小题，满分70分）17如图，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD平行四边形，AD平面SAB（1）若SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA平面ABCD（2）若点E是SB的中点，求证：SD平面ACE18如图，在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标19如图，在四棱锥PABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD=90，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点（1）若正视方向与AD平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积；（2）证明：平面CDE平面PAB20如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x6y+m=0，直线l的方程为：x+2y3=0（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值21如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA平面ABCD，AB=AD=CD=1，BAD=120，PA=平行四边形T，Q，M，N的四个顶点分别在棱PC、PA、AB、BC的中点（1）求证：四边形TQMN是矩形；（2）求四棱锥CTQMN的体积22平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的）1点A在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是（）AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l【考点】平面的基本性质及推论；平面的概念、画法及表示【分析】利用点线面的关系，用符号表示即可【解答】解：点A在直线上l，直线l在平面外，Al，l故选B2直线经过点A（2，0），B（5，3），则直线的倾斜角（）A45B135C45D135【考点】直线的倾斜角【分析】由两点求斜率求出过A、B两点的直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围求解直线的倾斜角【解答】解：设过A、B的直线的斜率为k，则再设该直线的倾斜角为（0180），由tan=1，得=135故选B3设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D【解答】解：若l，l，则平面，可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l，l，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l，l，则存在直线m，使lm，则m，故此时，故C错误；若，l，则l与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B4直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为3，而且它的倾斜角是直线xy=3倾斜角的2倍，则（）ABCD【考点】直线的倾斜角；直线的截距式方程【分析】对于直线mx+ny+3=0，令x=0求出y的值，即为直线在y轴上的截距，根据截距为3求出n的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出m的值【解答】解：对于直线mx+ny+3=0，令x=0，得到y=，即=3，解得：n=1，xy3=0的斜率为60，直线mx+ny+3=0的倾斜角为120，即斜率为，=m=，即m=故选D5已知直线l1：3x+2ay5=0，l2：（3a1）xay2=0，若l1l2，则a的值为（）AB6C0D0或【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】根据两直线平行的条件可知，3（a）2a（3a1）=0从而可求出a的值【解答】解：l1l2，3（a）2a（3a1）=0即6a2+a=0解得，a=0或a=故选：D6直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=（）A1B2CD4【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45，由此求得a2+b2的值【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45=，a2+b2=2，故选：B7已知侧棱长为2a的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为9a，则棱锥的高为（）AaB2aC aD a【考点】棱锥的结构特征【分析】根据正三棱锥的结构特征，先求出底面中心到顶点的距离，再利用测棱长求高【解答】解：如图示：正三棱锥底面周长为9a，底面边长为3a，正棱锥的顶点在底面上的射影为底面的中心O，OA=AD=3a=a，在RtPOA中，高PO=a，故选：A8已知：平面平面，=l，在l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC=3，BD=12，则CD的长度（）A13BC12D15【考点】点、线、面间的距离计算【分析】如图所示，连接BC由DBAB，平面平面，=l=AB，可得BD平面，BDBC，又ACAB，利用勾股定理即可得出【解答】解：如图所示，连接BCDBAB，平面平面，=l=AB，BD平面，BC平面，BDBC，又ACAB，CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2=122+32+42=132，CD=13，故选：A9直线y=kx+1与圆（x1）2+（y1）2=1相交于A，B，两点，若|AB|，则k的取值范围（）A0，1B1，0C（，11，+）D1，1【考点】直线与圆的位置关系【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于d时，通过|AB|，解此不等式求出k的取值范围【解答】解：由于圆（x1）2+（y1）2=1则圆心（1，1），半径为1，设圆心（1，1）到直线y=kx+1的距离为d，由弦长公式得，|AB|=2，故d2，即，化简得 （k1）（k+1）0，1k1，故选：D10已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A7B7C7D8【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V正方体=23122122=7故选：A11设点A（2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A（，+）B（，）C，D（，+）【考点】两条直线的交点坐标【分析】直线ax+y+2=0过定点（0，2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，2），且斜率为a，kMA=，kMB=，由图可知：a且a，a（，），故选B12已知圆O：x2+y2=16和点M（1，2），过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，则四边形ABCD面积的最大值（）A4BC23D25【考点】直线与圆的位置关系【分析】连接OA、OD作OEAC OFBD垂足分别为E、F，推导出四边形OEPF为矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC2+BD2=92，由任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的，求出当AC=BD时，四边形ABCD的面积取最大值【解答】解：如图，连接OA、OD作OEAC OFBD垂足分别为E、FACBD四边形OEPF为矩形已知OA=OC=4，OM=3，设OE为x，则OF=EP=，AC=2AE=2=2，BD=2DF=2=2，AC2+BD2=92，由此可知AC与BD两线段的平方和为定值，又任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的，当AC=BD=时四边形ABCD的面积最大值=23故选：B二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案分别填写在答题卡相应位置）13经过点（2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为2xy+7=0【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程【分析】由直线的点斜式方程能够求出经过点（2，3），且斜率为2的直线方程【解答】解：由直线的点斜式方程得：经过点（2，3），且斜率为2的直线方程为y3=2（x+2），整理得2xy+7=0，故答案为：2xy+7=014不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a1）y+7=0恒过定点（2，1）【考点】恒过定点的直线【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3xy+7=0，解方程组可得答案【解答】解：直线（a+3）x+（2a1）y+7=0可化为（x+2y）a+3xy+7=0，由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3xy+7=0的交点，解方程组可得不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a1）y+7=0恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）15在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x1）2+y2=2【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程【解答】解：圆心到直线的距离d=，m=1时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（x1）2+y2=2故答案为：（x1）2+y2=216已知三棱锥SABC所在顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，BAC=120，则球O的表面积为5【考点】球的体积和表面积【分析】求出BC，可得ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积【解答】解：AB=1，AC=1，BAC=120，BC=，三角形ABC的外接圆直径2r=2，r=1，SC面ABC，SC=1，三角形OSC为等腰三角形，该三棱锥的外接球的半径R=，该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4（）2=5故答案为：5三、解答题（共6小题，满分70分）17如图，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD平行四边形，AD平面SAB（1）若SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA平面ABCD（2）若点E是SB的中点，求证：SD平面ACE【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由线面垂直的性质可证SAAD，利用已知及勾股定理可证SAAB，即可证明SA平面ABCD，（2）连接BD，设ACBD=O，连接OE，可得BO=OD，BE=ES，可证SDOE，即可证明SD平面ACE【解答】证明：（1）AD平面SAB，SA平面SAB，SAAD，SA=3，AB=4，SB=5，SA2+AB2=SB2，即SAAB，又ABAD=A，SA平面ABCD（2）连接BD，设ACBD=O，连接OE，BO=OD，BE=ES，SDOE，又SD平面ACE，OE平面ACE，SD平面ACE18如图，在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标【考点】两条直线的交点坐标【分析】根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标逐步解答【解答】解：点A为y=0与x2y+1=0两直线的交点，点A的坐标为（1，0）kAB=1又A的平分线所在直线的方程是y=0，kAC=1直线AC的方程是y=x1而BC与x2y+1=0垂直，kBC=2直线BC的方程是y2=2（x1）由y=x1，y=2x+4，解得C（5，6）点A和点C的坐标分别为（1，0）和（5，6）19如图，在四棱锥PABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD=90，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点（1）若正视方向与AD平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积；（2）证明：平面CDE平面PAB【考点】平面与平面垂直的判定；简单空间图形的三视图【分析】（1）沿AD方向看到的面为平面PAB在平面PCD上的投影，从而可得主视图；（2）先证明AB平面PAD得出ABDE，再证明DEPA可得DE平面PAB，故而平面CDE平面PAB【解答】解（1）正视图如下：主视图面积S=4cm2（2）PD底面ABCD，AB平面ABCD，PDAB，ABAD，PD平面PAD，AD平面PAD，PDAD=D，AB平面PAD，又DE平面PAD，DEAB，E是PA的中点，AD=PD，DEPA，又AB平面PAB，PA平面PAB，PAAB=A，DE平面PAB，又DE平面CDE，平面CDE平面PAB20如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x6y+m=0，直线l的方程为：x+2y3=0（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）将圆的方程化为标准方程：，若为圆，须有，解出即可；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即kOPkOQ=1，亦即x1x2+y1y2=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为：，依题意得：，即m，故m的取值范围为（，）；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOPkOQ=1，即，所以x1x2+y1y2=0，又因为x1=32y1，x2=32y2，所以（32y1）（32y2）+y1y2=0，即5y1y26（y1+y2）+9=0，将直线l的方程：x=32y代入圆的方程得：5y220y+12+m=0，所以y1+y2=4，代入式得：，解得m=3，故实数m的值为321如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA平面ABCD，AB=AD=CD=1，BAD=120，PA=平行四边形T，Q，M，N的四个顶点分别在棱PC、PA、AB、BC的中点（1）求证：四边形TQMN是矩形；（2）求四棱锥CTQMN的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）先利用中位线定理证明四边形为平行四边形，再证明AC平面PAB，得出MNMQ，故而得出结论；（2）先求出三棱锥TCMN的体积，则VCTQMN=2VCTMN=2VTCMN【解答】证明：（1）连接AC，Q，T，M，N分别是PA，PC，AB，BC的中点，QTAC，MNAC，QTMN，四边形TQMN是平行四边形，PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC，四边形ABCD是等腰梯形，AB=AD=CD=1，BAD=120，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ABAC，又PA平面PAB，AB平面PAB，PAAB=A，AC平面PAB，MQ平面PAB，ACMQ，又MNAC，MNMQ，四边形TQMN是矩形（2）PA=，T为PC的中点，T到平面ABCD的距离h=，CN=1，MN=AC=，ABC=60，MNC=150，VCTQMN=2VCTMN=2VTCMN=SCMNh=1sin150=22平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质【分析】（1）求出O点到直线xy+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值【解答】解：（1）因为O点到直线xy+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2 （2）设直线l的方程为，即bx+ayab=0，由直线l与圆O相切，得，即，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y2=0（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），直线MP与x轴交点，直线NP与x轴交点，=2，故mn为定值2 xx12月15日