2022年高二下学期期末考试 数学（理科）试题

2022年高二下学期期末考试 数学（理科）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，则复数i（1i）所对应点的坐标为A. （1，1） B. （1，1） C. （1，1） D. （1，1） 2. 一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为A. B. C. D. 3. 极坐标和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A. 直线、圆 B. 直线、椭圆 C. 圆、圆 D. 圆、椭圆 4. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 5. 在用数学归纳法证明时，在验证当时，等式左边为A. 1 B. C. D. 6. 等于A. 1 B. C. D. 7. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件=“取到的2个数之和为偶数”，事件=“取到的2个数均为偶数”，则A. B. C. D. 8. 10件产品，其中3件是次品，任取两件，若表示取到次品的个数，则等于 A. B. C. D. 1 9. 设，则 A. B. C. D. 10. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能为3分，2分，1分或0分），其中、（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在题中的横线上） 11. 展开式中的系数是 。 12. 从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加。若甲参加，但不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种。 13. 已知圆的半径为3，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为 。 14. 由直线，曲线及轴所围图形的面积为 。 15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为 。 16. 在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理有。设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 。 三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本题8分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球。（）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。 18. （本题8分）已知函数在处有极值。 （）求实数的值；（）求函数的单调区间。 19. （本题8分）用适当方法证明：如果那么。 20. （本题8分）在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）。（）求直线的直角坐标方程；（）求点到曲线上的点的距离的最小值。 21. （本题11分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构。若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A、B、C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的。（）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为，求的分布列和数学期望。 22. （本题9分）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为。证明：。注：可用（）的结论。 【试题答案】一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。） 1-5 BBDCC 6-10 CBADD二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分。） 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共52分。 17. 解：（）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两球共有方法=10种， 1分其中，两球一白一黑有种。 2分。 4分（）解法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B，摸出一球得白球的概率为， 5分摸出一球得黑球的概率为， 6分。 8分解法二：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”。 6分“有放回摸两次，颜色不同”的概率为。 8分 18. 解：（）求导，得，由题意 2分解得 经检验，满足题意。 4分（）函数的定义域是。 5分解且，得，所以函数在区间上单调递增；解得，所以函数在区间上单调递减。 8分 19. 证明：（用综合法）. 8分 20. 解：（）由点M的极坐标为得点M的直角坐标为， 2分所以直线OM的直角坐标方程为。 3分（）由曲线C的参数方程（为参数）。化为普通方程为， 5分圆心为，半径为。 6分由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为。 8分 21. 解：（）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么。所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为。 3分（）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，那么， 5分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是。 6分（）解法一：随机变量可能取的值为0，1，2，3，4。那么 7分； ； ；。 10分所以的分布列为01234。 11分解法二：依题意：， 7分所以的分布列为。即01234 10分所以。 11分 22. 解：（）。 1分当时，所以为增函数，又，因此当时，。 3分（）。 5分又，所以。 6分由（）知，当时，因此。 7分在此式中令，则即。 8分所以。 9分