2022年高三第二次月考 数学文

2022年高三第二次月考 数学文本试题卷分共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x25x60，B=x|y=ln（3x），则AB=（）A（3，6 B（1，3C（1，3）D1，3）2. 函数 在以下哪个区间内一定有零点 ( )A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 4.已知实数，那么它们的大小关系是 A. B. C. D. 5. 已知下列命题：命题“”的否定是“”已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题“”是“”的充分不必要条件“若，则且”的逆否命题为真命题其中真命题的个数为（ ）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个6.下列四个图中，可能是函数的图象是是7. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）A. B. C. D. 8已知函数为定义在2，上的偶函数，且在0，上单调递增，则的解集 A1, 2 B3, 5 C -1, 1 D,9已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（1+x）=f（1x），且当x0，1，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（）A0B1C2D110. 已知函数是偶函数，当时，则曲线在点处切线的斜率为（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 211已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）2ex0的解集为（）A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）12. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 若是直角三角形的三边（为斜边），则圆被直线所截得的弦长等于_14. 已知，且，则等于_15. 如图，已知点在以，为焦点的双曲线（，）上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为_16.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在中，分别是内角，的对边，且.（）若，求的大小；（）若，的面积且，求，.18某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=19.如图，四棱锥中， ，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.20已知三角形ABC中，B（1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4（）求动点A的轨迹M的方程；（）P为轨迹M上动点，PBC的外接圆为O1（O1为圆心），当P在M上运动时，求点O1到x轴的距离的最小值21.已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2mx（1）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）若存在x0，e使得mf（x0）+g（x0）2x0+m成立，求实数m的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径（）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知，其中.（）当时，求不等式的解集；（）已知关于的不等式的解集为，求的值.数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x25x60，B=x|y=ln（3x），则AB=（）A（3，6B（1，3C（1，3） D1，3）【解答】解：集合A=x|x22x30=x|1x6=1，6，B=x|y=ln（3x）=x|3x0=x|x3=（，3）；AB=1，3）故选：D2. 函数 在以下哪个区间内一定有零点 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】f（x）=x3+3x-1f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）0，排除Af（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）0，排除B故选B3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意有，解得.选C.4.已知实数，那么它们的大小关系是 A. B. C. D. 【解析】试题分析：因为，,所以；故选A5. 已知下列命题：命题“”的否定是“”已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题“”是“”的充分不必要条件“若，则且”的逆否命题为真命题其中真命题的个数为（ ）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个【答案】C【解析】命题“xR,x2+13x”的否定是“xR,x2+13x”，故是假命题；由于“pq”的否定是“pq”，故是真命题。由于a5成立，则a2一定成立，而a2成立，a5不一定成立，故是假命题；由于命题“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故是假命题；本题选择C选项.6.下列四个图中，可能是函数的图象是是【答案】C【解析】试题分析：显然，当时，,即，故排除选项A、B，当时，,即，故排除选项D；故选C7. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B8已知函数为定义在2，上的偶函数，且在0，上单调递增，则的解集 A1, 2 B3, 5 C -1, 1 D,【解答】解：由得，则在0, 2上递增，在-2, 0上递减，所以 故选：C9已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（1+x）=f（1x），且当x0，1，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（）A0B1C2D1【解答】解：奇函数f（x）满足f（x+1）=f（1x），f（x+1）=f（1x）=f（x1），即f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，当x0，1时，f（x）=log2（x+1），f（31）=f（321）=f（1）=f（1）=log22=1，故选：D10. 已知函数是偶函数，当时，则曲线在点处切线的斜率为（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：由于函数是偶函数，当时，进而可得当时，从而曲线在点处切线的斜率为，故选B.11已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）2ex0的解集为（）A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g（x）=，f（x）f（x），g（x）0，即g（x）在R上单调递减；又f（0）=2，g（0）=2，则不等式f（x）2ex0化为2，它等价于g（x）2，即g（x）g（0），x0，即所求不等式的解集为（0，+）故选：B12. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出函数和的图象（如图所示），若关于的方程有四个不同的解且，则且，即，且，则在区间上单调递增，则，即的取值范围为；故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 若是直角三角形的三边（为斜边），则圆被直线所截得的弦长等于_【答案】2再根据半径，可得弦长为.14. 已知，且，则等于_【答案】【解析】由题意可得，15. 如图，已知点在以，为焦点的双曲线（，）上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意得 ，所以 16.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是 【解析】试题分析：因为，所以，设，所以，当在上恒成立，即函数在上为增函数，因为，所以在上有且只有一个零点，使得，且在上，在上，所以为函数在上唯一的极小值点；时，成立，函数在上为增函数，此时，所以在上恒成立，即，函数在上为单调增函数，函数在上无极值；当时，因为，所以在上恒成立，即，函数在上为单调增函数，函数在上无极值，综上所述，三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 在中，分别是内角，的对边，且.（）若，求的大小；（）若，的面积且，求，.解：（），；（）的面积，由余弦定理可得，联立可得，.18某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有600.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有400.05=2（人），记为B1，B2；（2分）从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；（4分）故所求的概率为P=（6分）（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生 600.25=15（人），女生400.375=15（人）；（7分）据此可得22列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100（9分）所以得K2=1.79；（11分）因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”（12分）19.如图，四棱锥中， ，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.（2）求四棱锥的体积.20已知三角形ABC中，B（1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4（）求动点A的轨迹M的方程；（）P为轨迹M上动点，PBC的外接圆为O1（O1为圆心），当P在M上运动时，求点O1到x轴的距离的最小值【解答】解：（）根据题意知，动点A满足椭圆的定义，（1分）设椭圆的方程（ab0，且y0），所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）且a2=b2+c2解得（3分）所以，动点A的轨迹C满足的方程为（4分）没有写出约束条件的扣（1分）（）设P（x0，y0），不妨设线段PB的垂直平分线方程为（6分）线段BC的垂直平分线方程为x=0，两条垂线方程联立求得（8分）（9分）O1的圆心O1到x轴的距离（10分）又知在上是单调递减函数当时，（12分）21.已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2mx（1）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）若存在x0，e使得mf（x0）+g（x0）2x0+m成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）f（x）=lnx+1，（x0）令f（x）=0，解得x=则x时，函数f（x）单调递增；，函数f（x）单调递减时，函数f（x）在t，t+2（t0）上单调递增，因此x=t时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（t）=tlnt+2时，t+2，则x=时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（）=+2综上可得：时，x=t时，函数f（x）取得最小值，f（x）min=f（t）=tlnt+2时，x=时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（）=+2（2）存在x0，e使得mf（x0）+g（x0）2x0+m成立，m，x，e令h（x）=，x，eh（x）=，令u（x）=xxlnx+2，x，e则u（x）=lnx，可知x时单调递增；x（1，e时单调递减且u（）=+20，u（e）=20，因此u（x）0令h（x）=0，解得x=1，可得：x=1是函数h（x）的极大值点，即最大值，h（1）=1m1实数m的取值范围是（，1选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径（）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为=6sin（）把代入x2+（y3）2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，t1t2=7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，|PA|PB|=7选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知，其中.（）当时，求不等式的解集；（）已知关于的不等式的解集为，求的值.23. 解：（）当时，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得；所以的解集为或.（）记，则由，解得，又已知的解集为，所以于是.