2022年高考数学大一轮复习 9.8直线与圆锥曲线试题 理 苏教版

2022年高考数学大一轮复习 9.8直线与圆锥曲线试题 理 苏教版一、填空题1已知双曲线x21的一条渐近线与直线x2y30垂直，则a_.解析 由双曲线标准方程特征知a0，其渐近线方程为xy0，可得渐近线xy0与直线x2y30垂直，所以a4.答案 42以双曲线x24y24的中心顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是_解析 设抛物线的方程为y22px，则由焦点相同的条件可知p2，所以抛物线的方程为y24x.答案 y24x3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知：ABAFBFx1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此M到抛物线准线的距离为1.答案4设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y得，x2x10有唯一解，所以240，2，e .答案5若斜率为1的直线l与椭圆y21交于不同两点A、B，则AB的最大值为_解析设直线l的方程为yxt，代入y21消去y得x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即t25，弦长AB.答案6已知双曲线方程是x21，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是_解析设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x1，x1，得k4，从而所求方程为4xy70.将此直线方程与双曲线方程联立得14x256x510，0，故此直线满足条件答案4xy707已知椭圆1(ab0)，A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点，且，则此椭圆的离心率为_解析 AB，BFa，AFac.又，AB2BF2AF2，即2a2b2a2c22ac，c2aca20，.所求的离心率为.答案 8已知点A(0,2)，抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AMMF，则p_.解析依题意，设点B，点F，M，则，.由得(2)(y12)0，即yy1p20.由AMMF得y1(y12)0，即y2y10，由得y1，把代入，解得p.答案9已知椭圆x22y220的两个焦点为F1，F2，B为短轴的一个端点，则BF1F2的外接圆方程是_解析 F1(1,0)，F2(1,0)，设B(0,1)，则BF1F2为等腰直角三角形，故它的外接圆方程为x2y21.答案 x2y2110已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则xx的最小值是_解析设过点P的直线为yk(x4)，当k不存在时，A(4,4)，B(4，4)，则xx32，当k存在时，有k2x2(8k24)x16k20，则x1x28，x1x216，故xx(x1x2)22x1x23232，故(xx)min32.答案32二、解答题11如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分(1)求p，t的值；(2)求ABP面积的最大值解 (1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)由题意知，设直线AB的斜率为k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB| |y1y2|.设点P到直线AB的距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|d|12(mm2)|.由4m4m20，得0m1.令u，0u，则Su(12u2)设S(u)u(12u2)，0u，则S(u)16u2.由S(u)0，得u，所以S(u)maxS.故ABP面积的最大值为.12设A、B分别为椭圆1(a，b0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x4为它的右准线(1)求椭圆的方程；(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内(1)解依题意得a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为1.(2)证明由(1)得A(2,0)，B(2,0)设M(x0，y0)M点在椭圆上，y0(4x)又点M异于顶点A、B，2x02，由P、A、M三点共线可以得P.从而(x02，y0)，.2x04(x43y)将代入，化简得(2x0)2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角故点B在以MN为直径的圆内13已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，ABC的三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4xy200.(1)求抛物线C的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足POOQ，证明：直线PQ过定点(1)解设抛物线C的方程为y22mx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2y2my20m0，0，m0或m160.解得y1,2，则y1y2，x1x210.再设C(x3，y3)，由于ABC的重心为F，则解得点C在抛物线上，22m.m8，抛物线C的方程为y216x.(2)证明当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为ykxb，显然k0，b0，POOQ，kPOkOQ1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，xPxQyPyQ0，将直线ykxb代入抛物线方程，得ky216y16b0，yPyQ.从而xPxQ，0，k0，b0，直线PQ的方程为ykx16k，PQ过点(16,0)；当PQ的斜率不存在时，显然PQx轴，又POOQ，POQ为等腰三角形，由得P(16,16)，Q(16，16)，此时直线PQ过点(16,0)，直线PQ恒过定点(16,0).14在平面直角坐标系xOy中，过点A(2，1)椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，2b2.(1)求a、b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQAR3 OP2，求直线l的方程解 (1)因为F(c,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，所以(c，b)，(c，b)因为2b2，所以c2b22b2.因为椭圆C过A(2，1)，代入得，1.由解得a28，b22.所以a2，b.(2)由题意，设直线l的方程为y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0.因为x20，所以x2，即xQ2.由题意，直线OP的方程为ykx.由得(14k2)x28.则x.因为AQAR3OP2.所以|xQ(2)|0(2)|3x.即|23.解得k1，或k2.当k1时，直线l的方程为xy10，当k2时，直线l的方程为2xy50.