2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法试题

2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法试题1(xx课标全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.2(xx安徽)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EFB1C；(2)求二面角EA1DB1的余弦值以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面、的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则有：(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.例1如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外跟踪演练1如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.热点二利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线夹角设l，m的夹角为(0)，则cos .(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为(0)，则sin |cosa，|.(3)面面夹角设平面、的夹角为(0)，则|cos |cos，v|.例2(xx江苏)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长思维升华(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化跟踪演练2(xx福建)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中点(1)求证：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由思维升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法跟踪演练3如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，ABEF，AD平面ABEF，且AD1，ABEF2，AFBE2，P、Q分别为AE、BD的中点(1)求证：PQ平面BCE；(2)求二面角ADFE的余弦值提醒：完成作业专题五第3讲二轮专题强化练专题五第3讲立体几何中的向量方法A组专题通关1已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件，则直线AM()A与平面ABC平行B是平面ABC的斜线C是平面ABC的垂线D在平面ABC内2.如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0B1C0或1D任意实数3.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定4如图，三棱锥ABCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.5已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_7在一直角坐标系中，已知A(1,6)，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A、B两点间的距离为_8已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_9.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.10(xx重庆)如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值B组能力提高11(xx四川)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是()A，1 B，1C， D，112如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变其中真命题的序号是_13已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_14.如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，点D为BC的中点(1)求二面角APDB的余弦值；(2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由学生用书答案精析第3讲立体几何中的向量方法高考真题体验1C方法一补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND.2(1)证明由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D，又A1D面A1DE，B1C面A1DE，于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1.面A1DE面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.设面A1DE的法向量n1(r1，s1，t1)，而该面上向量，(0,1，1)，由n1，n1得r1，s1，t1应满足的方程组(1,1,1)为其一组解，所以可取n1(1,1,1)设面A1B1CD的法向量n2(r2，s2，t2)，而该面上向量(1,0,0)，(0,1，1)，由此同理可得n2(0,1,1)所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为.热点分类突破例1证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，0, .棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，(0，1,1)，由得解得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1)n1n20，平面MDF平面EFCD.方法二(1)()().向量与向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，0，()220.OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.跟踪演练1证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.例2解以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)因为AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而cos，m，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为(1,0,2)，设(，0,2)(01)，又(0，1,0)，则(，1,2)，又(0，2,2)，从而cos，.设12t，t1,3，则cos2，.当且仅当t，即时，|cos，|的最大值为.因为ycos x在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.跟踪演练2(1)证明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)解过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，)，则(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin |cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.例3(1)证明连接A1C，交AC1于点O，连接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点又D为BC的中点，所以OD为A1BC的中位线，所以A1BOD.因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)解由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得BA，BC，BB1两两垂直以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以(1，2,0)，1(2，2,1)设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的一个法向量为v(0,0,1)所以cosn，v.因为二面角C1ADC是锐二面角，所以二面角C1ADC的余弦值为.(3)解假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，1(1,0,1)因为AE与DC1成60角，所以|cos，1|，即，解得1或3(舍去)所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60角跟踪演练3解(1)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，所以(，0，1)，(1,0,1)因为|cos，|，所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.因为(0,1,1)，可设(0，)(01)，又(，1,0)，所以(，1，)由ES平面AMN，得即故，此时(0，)，|.经检验，当AS时，ES平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS.高考押题精练(1)证明连接AC，四边形ABCD是矩形，且Q为BD的中点，Q为AC的中点，又在AEC中，P为AE的中点，PQEC，EC面BCE，PQ面BCE，PQ平面BCE.(2)解如图，取EF的中点M，则AFAM，以A为坐标原点，以AM，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(0,2,0)可得(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2，1)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则故即令x1，则y1，z2，故n(1,1,2)是平面DEF的一个法向量AM面ADF，为平面ADF的一个法向量cosn，.由图可知所求二面角为锐角，二面角ADFE的余弦值为.二轮专题强化练答案精析第3讲立体几何中的向量方法1D由已知得M、A、B、C四点共面所以AM在平面ABC内，选D.2C可为下列7个向量：，1，1，1，其中一个与重合，|21；，1，1与垂直，这时0；，1与的夹角为45，这时1cos1，最后11cosBAC11，故选C.3B分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.4A设AB1，则()()2cos 60cos 60cos 60.cos，.选A.5A如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，则(，1,2)，则(，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，由sin .6.解析以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)所以(0，1)，(1,0，)故0101，| ，| ，所以cos，.72解析如图为折叠后的图形，其中作ACCD，BDCD，则AC6，BD8，CD4，两异面直线AC、BD所成的角为60，故由，得|2|268，|2.8解析设正方体的棱长为1，中()22323，故正确；中，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0.故也不正确9证明(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F分别是PC，PD的中点，E，F，(1,0,0)，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)由(1)可知(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.10(1)证明由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)解由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB得DFAC，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，(1，1,0)，(1，1,3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1,0)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos n1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.11B根据题意可知平面A1BD平面A1ACC1且两平面的交线是A1O，所以过点P作交线A1O的垂线PE，则PE平面A1BD，所以A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角.设正方体的边长为2，则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直当点P与点C1重合时可得A1OOP，A1C12，所以sin 22，所以sin ；当点P与点C重合时，可得sin .根据选项可知B正确12解析中，BC1平面AD1C，BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；中，P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；中，P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，既二面角PAD1C的大小不受影响，所以正确13.解析以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点F到平面A1D1E的距离为d.14解(1)ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB，PCAPCB，PCAC，PCCB，又ACCBC，PC平面ACB，且PC，CA，CB两两垂直，故以C为坐标原点，分别以CB，CA，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，(1，2,0)，(1,0，2)，设平面PAD的一个法向量为n(x，y，z)，取n(2,1,1)，平面PDB的一个法向量为(0,2,0)，cosn，设二面角APDB的平面角为，且为钝角，cos ，二面角APDB的余弦值为.(2)方法一存在，M是AB的中点或A是MB的中点设M(x,2x,0) (xR)，(x,2x，2)，|cos，n|，解得x1或x2，M(1,1,0)或M(2,4,0)，在直线AB上存在点M，且当M是AB的中点或A是MB的中点时，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为.方法二存在，M是AB的中点或A是MB的中点设，则(2，2,0)(2，2，0) (R)，(2，22，2)，|cos，n|.解得或1.M是AB的中点或A是MB的中点在直线AB上存在点M，且当M是AB的中点或A是MB的中点时，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为.