2022年高考数学二模试卷（文科） 含解析(II)

2022年高考数学二模试卷（文科） 含解析(II)一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）ABC1iD1+i2已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若a=50.2，b=log3，c=log5sin，则（）AbcaBbacCabcDcab4执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）Ak2Bk4Ck3Dk35点P为ABC边AB上任一点，则使SPBCSABC的概率是（）ABCD6函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后关于原点对称，则的最小值为（）ABCD7已知F1，F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）ABC2D8在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，ABC=120，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=+（，R），则2+的最大值为（）ABCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取_人进行该项调查10甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于_11如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，PB交AC于点E，交O于点D若PA=PE，ABC=60，PD=1，PB=9，则EC=_12函数的单调递增区间是_13已知数列an，a1=1，a2=3，an+2=an+1an，则axx=_14若函数f（x）=x2+2a|x|+a26的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）b有4个零点，则实数b的取值范围是_三.解答题：本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）（）求f（x）的最小值；（）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求SABC16某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元）21.5计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克）11.5最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）10001200_并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？17如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中ABCD，ABBC，CD=BC=AB=1，AEDF=O，M为EC的中点（）证明：OM平面ABCD；（）求二面角DABE的正切值；（）求BF与平面ADEF所成角的余弦值18已知椭圆E： +=1（ab0）的长轴长为短轴长的倍（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OPOQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，Tn为bn的前n项和，求T2n20已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为，不等式f（x）bx2对任意x（0，+）恒成立，求实数b的取值范围；（）证明对于任意nN，n2有： +xx天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）ABC1iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案【解答】解：z=，故选：A2已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】直线l与曲线C有公共点1，化为|b1|，即可判断出结论可知：b=1时，满足上式；反之不成立，取b=也可以“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件故选：A3若a=50.2，b=log3，c=log5sin，则（）AbcaBbacCabcDcab【考点】对数值大小的比较【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案【解答】解：a=50.250=1，0b=log3log=1，c=log5sin0，abc故选：C4执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）Ak2Bk4Ck3Dk3【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，s=1应满足条件，执行循环体，s=1，k=1应满足条件，执行循环体，s=2，k=2应满足条件，执行循环体，s=8，k=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8则判断框内应为：k3？故选：C5点P为ABC边AB上任一点，则使SPBCSABC的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】首先分析题目求在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，使SPBCSABC得到三角形高的关系，利用几何概型求概率【解答】解：设P到BC的距离为h，三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，因为两个三角形有共同的边BC，所以满足SPBCSABC 时，hd，所以使SPBCSABC的概率为=；故选：A6函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后关于原点对称，则的最小值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得的最小值【解答】解：f（x）=sin（2x+），图象向左平移（0）个单位长度得到y=sin2（x+）+=sin（2x+2+），所得的图象关于原点对称，2+=k（kZ），0，则的最小正值为故选：B7已知F1，F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，RtABF2中算出cosBAF2=，可得cosF2AF1=，在F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|AF1|=|BF1|BF2|=2a，即5xt=（4x+t）3x=2a，解得t=2x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得ABF2是以B为直角的Rt，cosBAF2=，可得cosF2AF1=，F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cosF2AF1=a2+a22aa（）=20a2，可得|F1F2|=2a，即c=a，因此，该双曲线的离心率e=故选：D8在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，ABC=120，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=+（，R），则2+的最大值为（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】可作出图形，根据题意可知，0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=42+2+2=（2+）22，由基本不等式即可得出2+的范围，从而便可得出2+的最大值【解答】解：如图，依题意知，0，0；根据条件，5=42+2+2=；2+的最大值为故选B二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取： =31，故答案为：31；10甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥V1=，V2=4V1：V2=1：3故答案为：1：311如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，PB交AC于点E，交O于点D若PA=PE，ABC=60，PD=1，PB=9，则EC=4【考点】与圆有关的比例线段【分析】利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BEDE=AECE，从而求出EC的长【解答】解：PA是圆O的切线，PA2=PDPB=9，可得PA=3PAC是弦切角，夹弧ADC，PAC=ABC=60，APE中，PE=PA，APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3BE=PBPE=6，DE=PEPD=2圆O中，弦AC、BD相交于E，BEDE=AECE，可得62=3EC，EC=4，故答案为：412函数的单调递增区间是（2，3）【考点】复合函数的单调性【分析】由函数，知x2+4x30，由t=x2+4x3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，利用复合函数的单调性的性质能求出函数的单调递增区间【解答】解：函数，x2+4x30，解得1x3，t=x2+4x3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，由复合函数的单调性的性质知函数的单调递增区间是（2，3）故答案为：（2，3）13已知数列an，a1=1，a2=3，an+2=an+1an，则axx=2【考点】数列递推式【分析】由于数列an，a1=1，a2=3，an+2=an+1an，可得an+6=an即可得出【解答】解：数列an，a1=1，a2=3，an+2=an+1an，a3=a2a1=2，同理可得：a4=1，a5=3，a6=2，a7=1，a8=3，an+6=an则axx=a3356+6=a6=2，故答案为：214若函数f（x）=x2+2a|x|+a26的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）b有4个零点，则实数b的取值范围是（6，0）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可【解答】解：函数f（x）是偶函数，f（x）=x2+2a|x|+a26的图象与x轴有三个不同的交点，则必有f（0）=0，即a26=0，即a2=6，即a=，当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件当a=时，f（x）=x22|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，此时f（x）=x22|x|=（|x|）26，f（x）6，由g（x）=f（x）b=0得b=f（x），作出函数f（x）的图象如图：要使函数g（x）=f（x）b有4个零点，则6b0，故答案为：（6，0）三.解答题：本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）（）求f（x）的最小值；（）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求SABC【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（） =当时，f（x）取最小值为（），在ABC中，C（0，），又c2=a2+b22abcosC，（a+b）23ab=7ab=316某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元）21.5计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克）11.5最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000120010200（百元）并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y则有作出可行域如图：作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值由，解得点M的坐标为（3，6）当x=3，y=6时，zmax=31000+61200=10200（百元）答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元故答案为：10200百元17如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中ABCD，ABBC，CD=BC=AB=1，AEDF=O，M为EC的中点（）证明：OM平面ABCD；（）求二面角DABE的正切值；（）求BF与平面ADEF所成角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）推导出OMAC，由此能证明OM|平面ABCD（）取AB中点H，连接DH，则EHD为二面角DABE的平面角，由此能求出二面角DABE的正切值（）推导出BDDA，从而BD平面ADEF，由此得到BFD的余弦值即为所求【解答】证明：（）O，M分别为EA，EC的中点，OMACOM平面ABCD，AC平面ABCDOM|平面ABCD 解：（）取AB中点H，连接DH，EHDA=DBDHAB，又EA=EBEHABEHD为二面角DABE的平面角 又DH=1，二面角DABE的正切值为（）DC=BC=1，BCD=90，BDDA平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，BD平面ABCD，BD平面ADEFBFD的余弦值即为所求在，18已知椭圆E： +=1（ab0）的长轴长为短轴长的倍（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OPOQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；（2）求得椭圆的a，b，可得椭圆方程，讨论直线的斜率不存在，设出方程x=m，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由仇恨值的条件，可得m，求得圆心到直线的距离可得结论；再设直线y=kx+n，代入椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件，可得x1x2+y1y2=0，化简整理，可得4t2=3+3k2，再求圆心到直线的距离，即可得到直线恒与圆相切【解答】解：（1）由题意可得2a=2b，即a=b，c=a，可得e=；（2）证明：由题意可得c=，由（1）可得a=，b=1，椭圆的方程为+y2=1，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，代入椭圆方程，可得y=，由OPOQ，可得m2（1）=0，解得m=，由圆心（0，0）到直线x=m的距离为，即有直线l与圆x2+y2=相切；当直线的斜率存在时，设l：y=kx+t，代入椭圆方程x2+3y2=3，可得（1+3k2）x2+6ktx+3t23=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，由题意OPOQ，可得x1x2+y1y2=0，即为（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，即（1+k2）+kt（）+t2=0，化简可得4t2=3+3k2，由圆心（0，0）到直线y=kx+t的距离为d=，即为半径则直线l恒与圆x2+y2=相切19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，Tn为bn的前n项和，求T2n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当n为奇数时，bn=；当n为偶数时，bn=分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出【解答】解：（1）Sn=2an2，n=1时，a1=2a12，解得a1=2当n2时，an=SnSn1=2an2（2an12），化为an=2an1数列an是等比数列，公比为2an=2n，bn=（2）当n为奇数时，bn=；当n为偶数时，bn=设数列的前k项和为Ak，则Ak=+=设数列的前k项和为Bk，则Bk=，=，=2=2，Bk=（）=T2n=+20已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为，不等式f（x）bx2对任意x（0，+）恒成立，求实数b的取值范围；（）证明对于任意nN，n2有： +【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，得到a=1，分离参数得到，令，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的范围即可；（）当n2时，得到lnn2n21，根据放缩法证明即可【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，ax10，从而f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递减 当a0时，若，则ax10，从而f（x）0，若，则ax10，从而f（x）0，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增； （）求导数：，解得a=1 所以f（x）bx2，即x1lnxbx2，由于x0，即令，则，当0xe2时，g（x）0；当xe2时，g（x）0g（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+）上单调递增； 故，所以实数b的取值范围为（3）证明：由当a=1，x1时，f（x）为增函数，f（1）=0f（x）=x1lnx0即lnxx1当n2时，lnn2n21， =（nN*，n2） xx9月7日