2022年高考数学 数学圆锥曲线方程讲解例题新人教版

2022年高考数学 数学圆锥曲线方程讲解例题 新人教版说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍解析:设两条准线间的距离是焦距的k倍，则=2ck,k=()2.由已知得a=3c,k=()2=32=9.答案:B2.椭圆+=1上一点P到左焦点F1的距离为2，M是线段PF1的中点，则M到原点O的距离等于A.2B.4C.6D.8解析:如图，易知|OM|=|PF2|,而|PF2|=2a|PF1|=252=8,|OM|=4.答案:B3.AB为过椭圆+=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB面积的最大值是A.b2B.abC.acD.bc解析:设A(x0,y0),B(x0,y0),SABF=SOFB+SOFA=c|y0|+c|y0|=c|y0|.点A、B在椭圆+=1上,|y0|的最大值为b.SABF的最大值为bc.答案:D4.函数y=的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹,则这两个定点间的距离为A.8B.4C.4D.2分析:本题主要考查双曲线的定义.解:函数y=的图象是等轴双曲线,e=,实轴所在的直线方程为xy=0.解方程组得或即顶点为A1(,),A2(,).e=,c=2.根据双曲线的定义,两定点间的距离为2c=4.答案:C5.点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x2y16=0的距离的最大值为A.B.C.D.解析:化椭圆方程为参数方程(为参数).点P到直线3x2y16=0的距离为d=.dmax=.答案:C6.一动圆与圆x2+y2=1外切，而与圆x2+y26x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆解析:已知x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为r1=1,圆x2+y26x+8=0的圆心为A(3，0),半径为r2=1.设动圆的圆心为P，半径为r,则|PO|=1+r,|PA|=r1.则有|PO|PA|=2|OA|=3,轨迹为双曲线的一支.答案:A7.过原点的直线l与双曲线=1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是A.(，)B.(,)(,+)C.,D.(,+)解析:双曲线方程=1,其渐近线的斜率k=,当直线l的斜率为时，直线与渐近线重合，直线l与双曲线无交点，排除C、D.又双曲线的焦点在y轴上，当 k时，直线与双曲线无交点.答案:B8.设P是双曲线=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于A.1或5B.6C.7D.9分析:本题考查双曲线的定义.解:双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0,可求得a2=4.双曲线的方程为=1,2a=4.如图,可知P点在左支上.由双曲线定义,|PF2|PF1|=4,|PF2|=4+3=7.答案:C9.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A时,小球经过的路程是A.4aB.2(ac)C.2(a+c)D.4a或2(ac)或2(a+c)分析:本题属信息迁移题,考查学生灵活应用知识的能力.解:设靠近A的长轴端点为M，另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动,则路程应为2(ac)；若小球沿ANM方向运动,则路程为2(a+c)；若小球不沿AM与AN方向运动,则路程应为4a.答案:D10.椭圆a2x2+y2=a2(0a1)上离顶点A(0，a)距离最远的点恰好是另一个顶点A(0， a),则a的取值范围是A.(，1)B.，1)C.(0，)D.(0，解析:由对称性，可设P点坐标为(,y),|AP|2=1+(ya)2=y22ay+a2+1.0a1,0,开口向下.对称轴y=a.解得a1).答案:x2=1(x1)12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是12，则M点的轨迹方程是_.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y=8,e=.由c=2,=8,得a=4,满足e=.椭圆方程为+=1.答案: +=113.椭圆+ =1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_.解析:设P点横坐标为x0,则|PF1|=a+ex0=3+x0,|PF2|=aex0=3x0.F1PF2为钝角，当且仅当|F1F2|2|PF1|2|PF2|20,解之即得x0.答案:x0|AP|+|PN|).答案:(2,)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F1(2,0),左准线l1与x轴交于点N(3,0),过点N且倾斜角为30的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求直线l和椭圆的方程；(2)求证:点F1(2,0)在以线段AB为直径的圆上.(1)解:可知直线l:y=(x+3).由c=2及=3,解得a2=6,b2=622=2.椭圆方程为+=1. (2)证明:联立方程组 将代入,整理得2x2+6x+3=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=3,x1x2=.方法一:kk=1,F1AF1B,即AF1B=90.点F1(2,0)在以线段AB为直径的圆上.方法二:=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4+x1x2+3(x1+x2)+9=x1x2+3(x1+x2)+7=0,F1AF1B,则AF1B=90.点F1(2,0)在以线段AB为直径的圆上.16.(本小题满分10分)设F1、F2是双曲线x2y2=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.解:如图,F1(2，0)、F2(2，0)、M(x,y)，延长F1M与PF2相交于点N，设N(x0,y0).由已知可得M为F1N的中点,又|NF2|=|PN|PF2|=|PF1|PF2|=2a=4,(x02)2+y02=16.(2x+22)2+(2y)2=16.x2+y2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.解:设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,即|MA|MB|=|PB|PA|=50.这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点 O为原点的直角坐标系，则曲线为=1,其中a=25,c=|AB|.c=25,b2=c2a2=3750.所求曲线方程为=1(x25,y0).18.(本小题满分12分)已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,d.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若=，求向量与的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,a=.e=满足|PF|=d.P点的轨迹为+=1.又d=x,且d,2x.x.轨迹方程为+y2=1(x).(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为+y2=1(x),F(1,0)、P(x0,y0).=(1,0),=(x0,y0),=(1x0,y0).=,1x0=.x0=,y0=.又=|cos,1x0+0y0=1cos.cos=.=arccos.19.(本小题满分12分)(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(2,)的椭圆C的标准 方程；(2)对(1)中的椭圆C,设斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M,证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.解:(1)由题中条件,设椭圆的标准方程为+=1,ab0,右焦点为(2,0),a2=b2+4,即椭圆的方程为+=1.点(2,)在椭圆上,+=1.解得b2=4或b2=2(舍),由此得a2=8,即椭圆的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,与椭圆C的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则由得12x2+16mx+8m232=0,即3x2+4mx+2m28=0.0,m212,即2m2.则x1+x2=,y1+y2=x1+m+x2+m=m,AB中点M的坐标为(m,).线段AB的中点M在过原点的直线x+2y=0上.(3)如下图,作两条平行直线分别交椭圆于点A、B和点C、D,并分别取AB、CD的中点M、N,连结直线MN；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于点A1、B1和点C1、D1,并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1,连结直线M1N1,那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心 .