2022年高三上学期期末数学试卷（理科） 含解析(II)

2022年高三上学期期末数学试卷（理科） 含解析(II)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合M=x|1+x0，N=x|0，则MN=（）Ax|1x1Bx|x1Cx|1x1Dx|x12复数（i是虚数单位）的虚部是（）AiB1CiD13如果命题“（pq）”为假命题，则（）Ap、q均为真命题Bp、q均为假命题Cp、q至少有一个为真命题Dp、q至多有一个为真命题4一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）Acm3B3cm3Ccm3Dcm35若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）ABCD26从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为（）A5B10C20D7抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0t1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（）ABCD8已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1x）1的零点个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组13，14）；第二组14，15），第五组17，18如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是10阅读下列程序框图，该程序输出的结果是11定义在R上的奇函数f（x），当x（0，+）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）1的解集是12已知圆C：x2+y26x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=13如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=+，则+=14已知实数a，b满足：a，bR，且a+|b|1，则+b的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分解答写出文字说明、证明过程或验算过程15（13分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（）求函数f（x）在区间，上的取值范围16（13分）在ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若且a+b=5求ABC的面积17（13分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC=ADC=90，BAD=120，AD=AB=1，AC交BD于O点（）求证：平面PBD平面PAC；（）当点A在平面PBD内的射影G恰好是PBD的重心时，求二面角BPDC的余弦值18（13分）在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足bn=（）an，b1b2b3=（I）求数列an的通项公式；（）求a1b1+a2b2+anbn219（14分）已知椭圆+=1（ab0）离心率为（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1OQ220（14分）已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的极值（）证明：当x0时，x2ex（）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+），恒有x2cex参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合M=x|1+x0，N=x|0，则MN=（）Ax|1x1Bx|x1Cx|1x1Dx|x1【考点】交集及其运算【分析】分别求出集合M和N，由此能求出MN的值【解答】解：集合M=x|1+x0=x|x1，N=x|0=x|x1，MN=x|1x1故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2复数（i是虚数单位）的虚部是（）AiB1CiD1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，复数的虚部是1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3如果命题“（pq）”为假命题，则（）Ap、q均为真命题Bp、q均为假命题Cp、q至少有一个为真命题Dp、q至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出【解答】解：命题“（pq）”为假命题，命题“pq”为真命题，命题p、q均为真命题故选：A【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题4一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）Acm3B3cm3Ccm3Dcm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，据此可计算出体积【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为V=r2hr3=3=（cm3）故选D【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量5若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）ABCD2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（3，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z=，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键6从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为（）A5B10C20D【考点】抛物线的简单性质【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=1，x0=51=4|y0|=4，MPF的面积为54=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是灵活利用了抛物线的定义7抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0t1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值【解答】解：y=f（x）=x2，f（x）=2x，即切线l在P处的斜率k=f（t）=2t，切线方程为yt2=2t（xt）=2tx2t2，即yt2=2t（xt）=2tx2t2，y=2txt2，作出对应的图象，则曲线围成的面积S=，0t1，当t=时，面积取的最小值为故选：A【点评】本题主要考查积分的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分公式即可得到面积的最小值，考查学生的计算能力8已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1x）1的零点个数为（）A1B2C3D4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用已知条件求出f（1x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可【解答】解：函数f（x）=，f（1x）=，函数g（x）=f（1x）1的零点个数，就是y=f（1x）与y=1交点个数，如图：可知两个函数的图象由三个交点，函数g（x）=f（1x）1的零点个数为3故选：C【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组13，14）；第二组14，15），第五组17，18如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是27【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38=27（人）该班成绩良好的人数为27人故答案为：27【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算10阅读下列程序框图，该程序输出的结果是729【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=999的值【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=999的值S=999=729故答案为：729【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题11定义在R上的奇函数f（x），当x（0，+）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）1的解集是（，2）（0，）【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数【分析】设x0，则x0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起【解答】解：设x0，则x0，当x（0，+）时，f（x）=log2x，f（x）=log2（x），f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=log2（x），当x（0，+）时，f（x）1，即log2x1=，解得0x，当x（，0）时，f（x）1，即log2（x）1，则log2（x）1=log22，解得x2，综上，不等式的解集是（，2）（0，）故答案为：（，2）（0，）【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集12已知圆C：x2+y26x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=【考点】圆的切线方程【分析】求出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k=，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案【解答】解：圆C：x2+y26x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=切点在第四象限，当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=时，切点在第四象限因此，k=故答案为：【点评】本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题13如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=+，则+=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】设=， =，则=+， =+由于=+=（+）+（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出结论【解答】解：设=， =，则=+， =+由于=+=（+）+（+）=+，+=1，且+=1，解得 =，+=，故答案为：【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，14已知实数a，b满足：a，bR，且a+|b|1，则+b的取值范围是1，【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=1时和当ab=1时的最值，从而解得【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当a+b=1时， +b才有可能取到最大值，即+1a+1=，当ab=1时， +b才有可能取到最小值，即+a121=1，（当且仅当=a，即a=时，等号成立），结合图象可知，+b的取值范围是1，【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了分类讨论的思想应用三、解答题：本大题共6小题，共80分解答写出文字说明、证明过程或验算过程15（13分）（xx秋南开区期末）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（）求函数f（x）在区间，上的取值范围【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+），利用三角函数周期公式可求T，令2x+=k，kZ，解得函数的对称中心（）由范围x，利用正弦函数的图象和性质即可得解函数的取值范围【解答】（本题满分为13分）解：（）f（x）=2cosxsin（x+）=2cosx（sinxcos+cosxsin）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），5分T=，6分令2x+=k，kZ，解得：x=，kZ，即函数的对称中心为：（，0），kZ7分（）x，f（x）在区间，单调递增，在区间，单调递减，f（）=sin=0，f（）=sin=1，f（）=sin=，函数f（x）在区间，上的取值范围为1，13分【点评】本题值域考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题16（13分）（xx都昌县校级模拟）在ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若且a+b=5求ABC的面积【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数【分析】（1）利用两角和与差的正切函数，求出tanC的值，即可求出C；（2）先利用c2=a2+b22abcosC，求出ab，然后根据ABC的面积公式absinC，求出面积【解答】解：（1）（2分）在ABC中，0C（2）c2=a2+b22abcosC7=a2+b2ab=（a+b）23ab=253ab（8分）ab=6（12分）【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和三角形的面积公式，注意巧用两角和与差的正切函数，求出tanC的值17（13分）（xx濮阳一模）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC=ADC=90，BAD=120，AD=AB=1，AC交BD于O点（）求证：平面PBD平面PAC；（）当点A在平面PBD内的射影G恰好是PBD的重心时，求二面角BPDC的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定【分析】第（1）问，要证平面PBD平面PAC，只需证平面PBD经过平面PAC的一条垂线，观察可看出应选直线BD作为平面PAC的垂线，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根据底面ABCD中已知条件借助三角形全等可证AC垂直AC，则第一问可证；第（2）问，先确定P点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小【解答】解：（）依题意RtABCRtADC，BAC=DAC，ABOADO，ACBD而PA平面ABCD，PABD，又PAAC=A，所以BD面PAC，又BD面PBD，所以平面PAC平面PBD（）过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系，则B，D（0，1，0），C，设P（0，0，），所以G，由AGPB得，=0，解得，所以P点坐标为，面PBD的一个法向量为，设面PCD的一个法向量为=，cos=，所以二面角BPDC的余弦值为【点评】当二面角的平面角不好找或者不好求时，可以采用向量法，一般是先求出两个半平面的法向量，然后将二面角的大小转化为它们法向量之间的夹角，要注意结合图形判断二面角是钝角或是锐角，从而确定最终的结果18（13分）（xx秋南开区期末）在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足bn=（）an，b1b2b3=（I）求数列an的通项公式；（）求a1b1+a2b2+anbn2【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】（I）通过b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=计算即得结论；（）通过an=n可知anbn=n，利用错位相减法计算即得结论【解答】（I）解：设等差数列an的公差为d，依题意，b1=，b2=，b3=，b1b2b3=，=，1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，an=1+（n1）=n；（）证明：an=n，bn=，anbn=n，记Tn=a1b1+a2b2+anbn=1+2+3+n，则Tn=1+2+（n1）+n， 两式相减得： Tn=+n=n=1n，Tn=2（1n）=2，22，a1b1+a2b2+anbn2【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19（14分）（xx秋南开区期末）已知椭圆+=1（ab0）离心率为（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1OQ2【考点】椭圆的标准方程【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x224x+362b2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值【解答】解：（1）椭圆+=1（ab0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，解得a=2，b=，椭圆的方程为（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x224x+362b2=0，由0，得b，y1y2=2x1x26（x1+x2）+18=，由OQ1OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=3，b，b=3【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用20（14分）（xx漳州校级模拟）已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的极值（）证明：当x0时，x2ex（）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+），恒有x2cex【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（）构造函数g（x）=exx2，求出导数，利用（）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（）令x0=，利用（）的结论，即得结论成立【解答】解：（）由f（x）=exax得f（x）=exa又f（0）=1a=1，a=2，f（x）=ex2x，f（x）=ex2由f（x）=0得x=ln2，当xln2时，f（x）0，f（x）单调递减；当xln2时，f（x）0，f（x）单调递增；当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln22ln2=2ln4f（x）无极大值（）令g（x）=exx2，则g（x）=ex2x，由（1）得，g（x）=f（x）f（ln2）=eln22ln2=2ln40，即g（x）0，当x0时，g（x）g（0）0，即x2ex；（ III）对任意给定的正数c，取x0=0，由（ II）知，当x0时，exx2，当xx0时， ，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x（x0，+）时，恒有x2cex【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、综合性较强，难度较大