2022年高三二模考试数学（理）试题解析版 含解析

2022年高三二模考试数学（理）试题解析版 含解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）（xx宝山区二模）已知全集U=R，集合A=x|x22x30，则UA=1，3考点：并集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可解答：解：全集U=R，集合A=x|x22x30=x|x1或x3，所以UA=x|1x3，即UA=1，3故答案为：1，3点评：本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力2（4分）（xx宝山区二模）若复数z满足z=i（2z）（i是虚数单位），则|z|=考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|解答：解：复数z满足z=i（2z）（i是虚数单位），z=2iiz，即（1+i）z=2i，z=1+i，故|z|=，故答案为 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题3（4分）（xx宝山区二模）已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是，则tan2=考点：两角和与差的正切函数；直线的倾斜角专题：三角函数的图像与性质分析：有直线的方程求出直线的斜率，即得tan=2，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值解答：解：已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是，则有tan=2，且 0tan2=，故答案为 点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率，二倍角的正切公式的应用，属于基础题4（4分）（xx宝山区二模）若关于x、y的二元一次方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是考点：两条直线的交点坐标专题：数形结合分析：把给出的二元一次方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案解答：解：二元一次方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，由mxy+3=0，得y=mx+3，此直线的斜率为m由（2m1）x+y4=0，得y=（2m1）x+4若二元一次方程组有唯一一组解，则两直线的斜率不等，即m12m，所以m故答案为点评：本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题5（4分）（xx宝山区二模）已知函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线xy=0对称，则函数y=f（x）的解析式为y=2x1考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：根据函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线xy=0对称，知f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，求出y=log2（x+1）的反函数即得到f（x）的表达式解答：解：数y=f（x）的图象与函数y=log2（x+1）（x1）的图象关于直线xy=0对称，f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，f（x）=2x1，（xR）；故答案为：y=2x1点评：本题考查反函数、求反函数的方法，属于基础题6（4分）（xx宝山区二模）已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为1考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论解答：解：由题得：其焦点坐标为（2，0），（2，0）渐近线方程为y=x，即yx=0，所以焦点到其渐近线的距离d=1故答案为：1点评：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题7（4分）（xx宝山区二模）函数的最小正周期T=考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期解答：解：函数=（sinx+cosx）（sinx+cosx）2sinxcos（x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T=故答案为：点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题8（4分）（xx宝山区二模）若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：由题意可得Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求解答：解：由题意可得二项展开式的通项，Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr令r=3可得含x3项的系数为：8Cn3，令r=1可得含x项的系数为2Cn18Cn3=82Cn1n=5故答案为：5点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项公式求解指定的项，解题的关键是熟练掌握通项，属于基础试题9（4分）（xx宝山区二模）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是9考点：程序框图分析：由已知中的程序框图及已知中p输入7，可得：进入循环的条件为n7，即n=1，2，6，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值解答：解：当n=1时，S=0+21=1；当n=2时，S=1+22=1；当n=3时，S=1+23=0；当n=4时，S=0+24=2；当n=5时，S=2+25=5；当n=6时，S=5+26=9；当n=9时，退出循环，则输出的S为：9故答案为：9点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理10（4分）（xx宝山区二模）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积专题：计算题分析：求出球的体积，利用圆锥的体积与球的体积相等，求出圆锥的高，然后求出圆锥的母线长即可解答：解：由题意可知球的体积为：=，圆锥的体积为：=，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以，所以h=4，圆锥的母线：=故答案为：点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力11（4分）（xx宝山区二模）某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 （结果用最简分数表示）考点：等可能事件的概率专题：概率与统计分析：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，由此求得这3名学生选择的选修课互不相同的概率解答：解：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，故这3名学生选择的选修课互不相同的概率为 =，故答案为 点评：本题主要考查等可能事件的概率，分步计数原理的应用，属于中档题12（4分）（xx宝山区二模）正项无穷等比数列an的前n项和为Sn，若，则其公比q的取值范围是 （0，1）考点：数列的极限；等比数列的性质专题：计算题分析：由题设条件知=1，所以0q1解答：解：正项无穷等比数列an的前n项和为Sn，且，=1，0q1故答案为：（0，1）点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意公式的灵活运用13（4分）（xx宝山区二模）已知两个不相等的平面向量，（）满足|=2，且与的夹角为120，则|的最大值是考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题：平面向量及应用分析：如图所示：设=，=，则 =，BAO=60，BAC=120，且 OB=2，0B120AOB中，由正弦定理求得|=sinB，由此可得|的最大值解答：解：如图所示：设=，=，则 =，BAO=60，BAC=120，且 OB=2，0B120AOB中，由正弦定理可得 =，即 ，解得|=sinB由于当B=90时，sinB最大为1，故|的最大值是，故答案为 点评：本题主要考查求向量的模的方法，正弦定理，以及正弦函数的值域，体现了数形结合的数学思想，属于中档题14（4分）（xx宝山区二模）给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34，1074按顺序构成数列bn，存在正整数s、t（1st）使b1，bs，bt成等差数列，试写出一组（s，t）的值（17，25）考点：等差数列的通项公式；数列与函数的综合专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得，b2b1=9b3b2=11bnbn1=2n+5，利用叠加可求bn，然后由b1，bs，bt成等差数列可得2bs=b1+bt，代入通项后即可求解满足题意的t，s解答：解：由题意可得，b2b1=9b3b2=11bnbn1=2n+5以上n1个式子相加可得，bnb1=9+11+2n+5=n2+6n7bn=n2+6n6b1，bs，bt成等差数列2bs=b1+bt2（s2+6s6）=1+t2+6t6整理可得，2（s+3）2=（t+3）2+161st30且s，tN*经检验当s=17，t=25时符合题意故答案为：（17，25）点评：本题主要考查了数列的通项公式的求解，要注意叠加法的应用，属于公式的灵活应用二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（xx宝山区二模）已知a（，），sina=，则tan（a）等于（）A7BC7D考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可解答：解：a（，），sina=，cosa=，则tana=tan（a）=7故选A点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题16（5分）（xx宝山区二模）已知圆C的极坐标方程为=asin，则“a=2”是“圆C与极轴所在直线相切”的 （）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题；转化思想分析：求出圆的普通方程，利用a=2判断圆与极轴是否相切，如果圆与x轴相切，求出a的值，即可判断充要条件解答：解：圆C的极坐标方程为=asin，所以它的普通方程为：x2+y2=ay，当a=2时，圆的方程为x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1，圆心坐标（0，1），半径为：1，所以圆C与极轴所在直线相切如果圆C与极轴所在直线相切，即x2+（y）2=，所以a=2，圆C的极坐标方程为=asin，则“a=2”是“圆C与极轴所在直线相切”的充分不必要条件故选A点评：本题考查圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系，充要条件的判断，基本知识的综合应用17（5分）（xx宝山区二模）若直线ax+by=2经过点M（cos，sin），则 （）Aa2+b24Ba2+b24CD考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cos，sin），得到acos+bsin=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项解答：解：直线ax+by=2经过点M（cos，sin），acos+bsin=2，a2+b2=（a2+b2）（cos2+sin2）（acos+bsin）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B点评：本题主要考查了直线的方程、柯西不等式求最值等注意配凑的方法，属于基础题18（5分）（xx宝山区二模）已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“集合”给出下列4个集合：M=（x，y）|y=ex2M=（x，y）|y=cosxM=（x，y）|y=lnx其中所有“集合”的序号是（）ABCD考点：元素与集合关系的判断专题：新定义分析：对于，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于，画出图象，说明满足集合的定义，即可判断正误；对于，画出函数图象，说明满足集合的定义，即可判断正误；对于，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足集合定义解答：解：对于y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90，所以在同一支上，任意（x1，y1）M，不存在（x2，y2）M，满足集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）M，不存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足集合的定义，不是集合对于M=（x，y）|y=ex2，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，1），则N（ln2，0），满足集合的定义，所以是集合；正确对于M=（x，y）|y=cosx，如图（3），对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），满足集合的定义，所以M是集合；正确对于M=（x，y）|y=lnx，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是集合所以正确故选A点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）（xx宝山区二模）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点（1）求直线EC与平面B1BCC1所成角的大小；（2）求二面角EAFB的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角专题：空间角分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出线面角；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小解答：（1）解：建立坐标系如图 所示，则平面B1BCC1的一个法向量为E（2，1，2），C（0，2，0），可知直线EC的一个方向向量为设直线EC与平面B1BCC1成角为，则sin=故直线EC与平面B1BCC1所成角的大小为（2）由（1）可知：平面ABCD的一个法向量为设平面AEF的一个法向量为，得，令x=1，则y=2，z=1，=由图知二面角EAFB为锐二面角，故其大小为点评：本题考查了：通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角得出线面角；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的方法必须熟练掌握20（14分）（xx宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设COP=，求POC面积的最大值及此时的值考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：（1）在POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记POC的面积为S（），则，利用两角和差的正弦公式化为，可得时，S（）取得最大值为解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OCPC=4，再利用基本不等式求得3OCPC4，所以，再根据OC=PC 求得POC面积的最大值时的值解答：解：（1）在POC中，OP=2，OC=1，由得PC2+PC3=0，解得（2）解法一：CPOB，在POC中，由正弦定理得，即，又，记POC的面积为S（），则=，时，S（）取得最大值为解法二：，即OC2+PC2+OCPC=4又OC2+PC2+OCPC3OCPC，即3OCPC4，当且仅当OC=PC时等号成立，所以，OC=PC，时，S（）取得最大值为点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属于中档题21（14分）（xx宝山区二模）已知函数f（x）=x2+a（1）若是偶函数，在定义域上F（x）ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，令g（x）=f（f（x）f（x），问是否存在实数，使g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由考点：函数恒成立问题专题：函数的性质及应用分析：（1）把函数f（x）的解析式代入函数F（x）利用函数是偶函数求出b=0，把b=0代回函数F（x）的解析式，由F（x）ax恒成立分离出参数a，然后利用基本不等式求最值，则a的范围可求；（2）把a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数g（x）解析式，由偶函数的定义得到函数g（x）为定义域上的偶函数，把函数g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数转化为在区间（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数，换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴，由对称轴可求的值解答：解：（1）由F（x）是偶函数，F（x）=F（x），即bx+1=bx+1，b=0即F（x）=x2+a+2，xR又F（x）ax恒成立，即x2+a+2ax恒成立，也就是a（x1）x2+2恒成立当x=1时，aR当x1时，a（x1）x2+2化为，而，当x1时，a（x1）x2+2化为，而，综上：；（2）存在实数=4，使g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数事实上，当a=1时，f（x）=x2+1g（x）=f（f（x）f（x）=（x2+1）2+1（x2+1）=x4+（2）x2+（2）g（x）=（x）4+（2）（x）2+（2）=g（x）g（x）是偶函数，要使g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数，即g（x）只要满足在区间（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数即可令t=x2，当x（0，1）时t（0，1）；x（1，+）时t（1，+），由于x（0，+）时，t=x2是增函数，记g（x）=H（t）=t2+（2）t+（2），故g（x）与H（t）在区间（0，+）上有相同的增减性，当二次函数H（t）=t2+（2）t+（2）在区间（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数时，其对称轴方程为t=1，解得=4点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性与奇偶性的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围，考查了二次函数的单调性属难题22（16分）（xx宝山区二模）已知点A（1，0），P1、P2、P3是平面直角坐标系上的三点，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，公差为d，d0（1）若P1坐标为（1，1），d=2，点P3在直线3xy18=0上时，求点P3的坐标；（2）已知圆C的方程是（x3）2+（y3）2=r2（r0），过点A的直线交圆于P1、P3两点，P2是圆C上另外一点，求实数d的取值范围；（3）若P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，点P2的横坐标为3，求证：线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；等差数列的通项公式；直线与圆的位置关系专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用P1坐标为（1，1），d=2，求出|AP3|，利用点P3在直线3xy18=0上，解方程组即可求点P3的坐标；（2）求出圆C的方程是（x3）2+（y3）2=r2（r0），的圆心与半径，求出点A与圆的圆心的距离，通过A在圆内与圆外，分别求实数d的取值范围；（3）利用P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，抛物线的定义，求出线段P1P3的斜率，求出直线方程，通过y=0，推出直线与x轴的交点为一定点，即可求该定点的坐标解答：解（1）因为|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，且|AP1|=1，d=2，所以|AP3|=5，设P3（x，y）则，消去y，得x211x+30=0，（2分）解得x1=5，x2=6，所以P3的坐标为（5，3）或（6，0）（2）由题意可知点A到圆心的距离为（6分）（）当时，点A（1，0）在圆上或圆外，|2d|=|AP3|AP1|=|P1P3|，又已知d0，0|P1P3|2r，所以rd0或 0dr（）当时，点A（1，0）在圆内，所以，又已知d0，即或结论：当时，rd0或 0dr；当时，或（3）因为抛物线方程为y2=4x，所以A（1，0）是它的焦点坐标，点P2的横坐标为3，即|AP2|=4设P1（x1，y1），P3（x3，y3），则|AP1|=x1+1，|AP3|=x3+1，|AP1|+|AP3|=2|AP2|，所以x1+x3=2x2=6直线P1P3的斜率，则线段P1P3的垂直平分线l的斜率则线段P1P3的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点为定点（5，0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查23（18分）（xx宝山区二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（a3），设，nN*（1）求证：数列bn是等比数列；（2）若an+1an，nN*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列en，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，pN*且t1，p1）的形式，则称Cn为“指数型和”问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和专题：综合题；新定义分析：（1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列bn是等比数列；（2）由（1）可得Sn3n=（a3）2n1，an=SnSn1，n2，nN*，从而可求得an=，由an+1an，可求得a9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，bn=2n1，当n2时，Cn=3+2+4+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp1=2n，（t，pN*且t1，p1），t只能是不小于3的奇数分当p为偶数时与当p为奇数讨论即可得到答案解答：解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn3n，nN*，当a3时，=2，所以bn为等比数列b1=S13=a3，bn=（a3）2n1（2）由（1）可得Sn3n=（a3）2n1，an=SnSn1，n2，nN*，an=，an+1an，a9，又a3，所以a的最小值为9；（3）由（1）当a=4时，bn=2n1，当n2时，Cn=3+2+4+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1由tp=2n+1，tp1=2n，（t，pN*且t1，p1），t只能是不小于3的奇数当p为偶数时，tp1=（+1）（1）=2n，因为tp+1和tp1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，1=2h，2g2h=2，2h（2gh1）=2，所以2h=2且2gh1=1h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；当p为奇数时，tp1=（t1）（1+t+t2+tp1），由于1+t+t2+tp1是p个奇数之和，仍为奇数，又t1为正偶数，所以（t1）（1+t+t2+tp1）=2n不成立，此时没有“指数型和”点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题