2022年高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版

2022年高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版 xx高考会这样考1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程复习备考要这样做1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想1 直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0 (A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2 (r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r (r20). 方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d1，解得k，即k(，)3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_答案(13,13)解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d，0|c|13，即c(13,13)4 从圆x22xy22y10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()A. B. C. D0答案B解析圆的方程整理为(x1)2(y1)21，C(1,1)，sinAPC，则cosAPBcos 2APC122.5 圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条 C3条 D4条答案B解析C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12.C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22.|C1C2|，|r1r2|0|C1C2|0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.方法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同方法一方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.探究提高(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法 (xx安徽)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 ()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)答案C解析由题意知，圆心为(a,0)，半径r.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即，|a1|2.3a1.题型二圆与圆的位置关系例2a为何值时，圆C1：x2y22ax4ya250和圆C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切思维启迪：(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用圆心距与两圆半径的关系求解解将两圆方程写成标准方程C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22，设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a0，即b26b90.解得33b0，即直线AB的方程为xy40，或xy10.12分答题模板第一步：假设符合要求的结论存在第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解第三步：确定符合要求的结论存在或不存在第四步：给出明确结果第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范温馨提醒(1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题(2)要注意解答这类题目的答题格式使答题过程完整规范(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰方法与技巧1 过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程xx0.2 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程(2)代数方法设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出3 两圆公共弦所在直线方程求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程4 圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1x2，x1x2，则弦长为|AB|(k为直线斜率)失误与防范1 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算2 过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 “a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切，则有2，即|a1|4，所以a3或5.但当a3时，直线yx4与圆(xa)2(y3)28一定相切，故“a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的充分不必要条件2 (xx重庆)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心答案C解析x2y22的圆心(0,0)到直线ykx1的距离d1，又r，0d0)的公共弦长为2，则a_.答案1解析方程x2y22ay60与x2y24.相减得2ay2，则y.由已知条件，即a1.7 (xx江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_答案解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.三、解答题(共22分)8 (10分)求过点P(4，1)且与圆C：x2y22x6y50切于点M(1,2)的圆的方程解设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，则A，M，C三点共线，且有|MA|AP|r，因为圆C：x2y22x6y50的圆心为C(1,3)，则，解得m3，n1，r，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)25.9 (12分)已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程解(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，a.当a时，A(1，)，切线方程为xy40；当a时，A(1，)，切线方程为xy40，a时，切线方程为xy40，a时，切线方程为xy40.(2)设直线方程为xyb，由于直线过点A，1ab，直线方程为xy1a，即xya10.又直线与圆相切，d2，a21.切线方程为xy20或xy20.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (xx天津)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)答案D解析圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22.2 (xx江西)若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ()A(，) B(，0)(0，)C， D(，)(，)答案B解析C1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)当m0时，C2：y0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m0时，要满足题意，需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m，即直线处于两切线之间时满足题意，则m0或0m.综上知m0或0m.3 (xx大纲全国)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ()A4 B4 C8 D8答案C解析两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2，即a，b为方程(4x)2(1x)2x2的两个根，整理得x210x170，ab10，ab17.(ab)2(ab)24ab10041732，|C1C2|8.二、填空题(每小题5分，共15分)4 若过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_答案(，3)解析圆方程可化为(xa)2y232a，由已知可得，解得a3或1a.5 若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆C：x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是_答案(0，)解析圆的标准方程为(x2)2y29，令x0得圆与y轴的两个交点为(0，)，如图，直线kAM.若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是0k.6 过点M的直线l与圆C：(x1)2y24交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_答案2x4y30解析由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y1，即2x4y30.三、解答题7 (13分)已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程解(1)设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.|MN|2，|AQ|1，则由|AQ|1，得k，直线l：3x4y60.故直线l的方程为x2或3x4y60.