2022年高三数学10月月考试题 文（含解析）

2022年高三数学10月月考试题 文（含解析）第卷【试卷综析】试卷全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。注重考查数学的各种思想和能力 函数与方程的思想、变换的思想、充分体现，挖掘考生的各项数学能力、体现宽口径，多角度的命题思路.一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卡上)【题文】1已知集合A=，集合B为整数集，则AB=（ ） A. B. C. D.【知识点】交集及其运算A1 【答案解析】D 解析：由（x+1）（x+2）0，得1x2，A=x|（x+1）（x+2）0=x|1x2，又B为整数集，则AB=1，0，1，2故选：D【思路点拨】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集运算得答案【题文】2为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换 C4【答案解析】A 解析：因为函数y=cos（2x+1）=cos2（x+），所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位故选A【思路点拨】化简函数y=cos（2x+1），然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可【题文】3已知，其中是虚数单位，那么实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D.【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案解析】C 解析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出【思路点拨】（ai）2=2i，a212ai=2i，解得a=1故选：C【题文】4若则一定有（ ） A. B. C. D.【知识点】不等式的基本性质 E1【答案解析】D 解析：cd0，0，ab0，故选：D【思路点拨】利用不等式的基本性质即可得出【题文】5若是的对称轴，则的初相是（ ） A. B. C. D.【知识点】两角和与差的正弦函数 C5【答案解析】C 解析：已知x=是f（x）=cosx+asinx的对称轴，所以cos（）+asin（）= ，解得：a= ，则：f（x）=cosxsinx=2sin（x+），故选：C【思路点拨】首先根据函数的对称轴建立关于a的方程求出a值，进一步对f（x）=cosx+asinx的关系进行恒等变换，整理成f（x）=2sin（x+）的形式，最后求出结果【题文】6已知数列的前项和，则数列（ ） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【知识点】等比关系的确定 D3【答案解析】 解析：当a=1时，Sn=0，且a1=a1=0，an=SnSn1=（an1）（an11）=0，（n1）an1=Sn1Sn2=（an11）（an21）=0，anan1=0，数列an是等差数列当a1时，a1=a1，an=SnSn1=（an1）（an11）=anan1，（n1）an1=Sn1Sn2=（an11）（an21）=an1an2，（n2），（n2）数列an是等比数列综上所述，数列an或是等差数列或是等比数列故选C【思路点拨】由题意可知，当a=1时，Sn=0，判断数列是否是等差数列；当a1时，利用 ，判断数列an是等差数列还是等比数列【题文】7如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A. B. C. D.【知识点】众数、中位数、平均数；茎叶图 I2【答案解析】C 解析：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=88.4+当X=8或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1=故选C【思路点拨】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【题文】8某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【知识点】循环结构. L1 L2【答案解析】C 解析：经过第一次循环得到S=2，n=1，经过第二次循环得到S=5，n=2，经过第三次循环得到S=10，n=3，经过第四次循环得到S=19，n=4，经过第五次循环得到S=36，n=5，经过第六次循环得到S=69，n=6，输出的结果不大于37，n的最大值为4，i的最大值为5.故选C【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值【题文】9用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=.若A=1,2,B=，且A*B=1，设实数的所有可能取值集合是S，则C(S)=（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【知识点】集合的确定性、互异性、无序性 A1【答案解析】B 解析：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 或x2+ax+2=0 ，又由A=1，2，且A*B=1，集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1集合B是单元素集合，则方程有两相等实根，无实数根，a=0；2集合B是三元素集合，则方程有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即，解得a=2，综上所述a=0或a=2，C（S）=3故答案为 B【思路点拨】根据A=1，2，B=x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）【题文】10如图所示，等边ABC的边长为2，D为AC中点，且ADE也是等边三角形，在ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，的取值范围是（ ） A. B. C. D.【知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案解析】A 解析：设BAD=，（0），则CAE=，则=（）（）=+=11cos12cos（）21cos（）+22cos=2（cos+sin+cossin）=2cos，由于0，则cos1，则2cos故选：A【思路点拨】设BAD=，（0），则CAE=，则=（）（），将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到2cos，再由余弦函数的性质，即可得到范围第卷二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上）【题文】11等比数列的前项和为，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列的公比为_。【知识点】等比数列的性质 D3【答案解析】 解析：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为 .【思路点拨】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【题文】12已知函数则满足不等式的取值范围是 .【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法 B1 B8 E1【答案解析】（1，1） 解析：由题意，可得故答案为：.【思路点拨】由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可【题文】13已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为 。【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 B12菁【答案解析】xy1=0 解析：f（x）=xlnx，函数的导数为f（x）=1+lnx，设切点坐标为（x0，x0lnx0），f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为yx0lnx0=（lnx0+1）（xx0），切线l过点（0，1），1x0lnx0=（lnx0+1）（x0），解得x0=1，直线l的方程为：y=x1即直线方程为xy1=0，故答案为：xy1=0【思路点拨】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，代入点（0，1），解方程即可得到结论【题文】14已知函数，则= 。【知识点】函数的值 B1【答案解析】 解析：100，f（10）=lg10=110，f（1）=21=，故答案为【思路点拨】求ff（10）的值可从内往外逐一脱去“f”，ff（10）=f（1）即可解得【题文】15已知函数的定义域为，部分对应值如下表：0451221 的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：函数是周期函数；函数在0,2上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值是4；当时，函数有4个零点；函数的零点个数可能为0，1，2，3，4个.其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性B12 B4 B9 B3菁【答案解析】 解析：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：为假命题函数f（x）不能断定为是周期函数为真命题，因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当t=5时，也满足x1，t时，f（x）的最大值是2；为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）a有2个零点，也可以是3个零点为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个综上得：真命题只有故答案为：【思路点拨】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案三解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）【题文】16（12分）已知数列是等差数列，是等比数列，。 （1）求数列、的通项公式； （2）设数列中，求数列的前n项和Sn.【知识点】数列的求和；等差数列的性质 D3 D2菁【答案解析】（1）（1）， ； （2）Sn=. 解析：（1）在等差数列an中，由a1=1，a3=3，得，an=1+1（n1）=n在等比数列bn中，由b2=4，b5=32，得，q=2；（2）cn=anbn=n2n则Sn=121+222+323+n2n ， ，得：=Sn=（n1）2n+1+2【思路点拨】(1)直接由已知求出等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）把数列an、bn的通项公式代入cn=anbn，然后利用错位相减法求数列cn的前n项和Sn【题文】17（12分）已知向量.（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，在ABC中，角A、B、C的对边分别为，若，求的值.【知识点】平面向量数量积的运算；函数y=Asin（x+）的图象变换 F3 C4【答案解析】（1）周期 ， 单调减区间：；（2） 解析：（1）向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosxsinx，sinx）f（x）=cos2xsin2x=sin（2x+），函数的周期为=，2k+2x+2k，kz，kxk+，kz，所以函数的周期为=，k，k，kz（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，g（x）=cosx，f（）=0，g（B）=，b=2，sin（A+）=0，cosB=，在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，A=，B=，b=2得：，即a=，【思路点拨】（1）向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosxsinx，sinx）f（x）=cos2xsin2x=sin（2x+），运用三角函数的图象的性质求解（2）利用函数图象平移求出g（x）解析式，代入利用已知条件求解【题文】18（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，DCE是边长为6的正三角形。（1）求证：平面DEC平面BDE；（2）求二面角CBED的余弦值.【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法G5 G11【答案解析】(1)证明：略；（2）.解析：（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AD=2，AB=3，所以BD=，又因为BC=7，CD=6，所以根据勾股定理可得BDCD，因为BE=7，DE=6，同理可得BDDE因为DECD=D，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD平面DEC因为BD平面BDE，所以平面DEC平面BDE；（2）解：在CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，SCBE=6，在BED中，BD=，DE=6，BE=7，SBED=3，二面角CBED的余弦值为=【思路点拨】（1）根据勾股定理证明BDCD，BDDE，可得BD平面DEC，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面DEC平面BDE；（2）求出SCBE、SBED，即可求二面角CBED的余弦值【题文】19（12分）从标有1，2，3，7的7个小球中取出一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个球，记下它上面的数字，然后把两球上的数字相加，求取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率.【知识点】古典概型及其概率计算公式K2【答案解析】 解析：从标有1，2，3，7的7个小球中取出一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个球，记下它上面的数字，共有77=49种不同情况，其中两球上的数字之和大于11或者能被4整除的事件有：（1，3），（1，7），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（5，7），（6，2），（6，6），（7，1），（7，5），（6，7），（7，6），（7，7），共16种，故取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率P= .【思路点拨】本题先求出有放回的收取两个小球的取法总数，和两球上的数字之和大于11或者能被4整除的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【题文】20（13分）已知数列满足，前n项和为Sn，Sn=。 （1）求证：是等比数列； （2）记，当时是否存在正整数m，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.【知识点】数列递推式D5【答案解析】(1)证明：略；（2）当时存在正整数m=4，都有 . 解析：（1）证明：，Sn1=（1+an1）两式相减得，故an是等比数列（2）解：，lna0，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数，当，即 时，b2k+2b2k，又b4b2，k2时b4b6b8存在m=4，满足题意【思路点拨】（1）由已知推导出，由此能证明an是等比数列（2）由，得若存在满足条件的正整数m，则m为偶数，由此能求出存在m=4，满足题意【题文】21（14分）设函数，其中.（1）若，求在1,4上的最值；（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值B12【答案解析】（1）；（2）0a . 解析：（1）a=6，f（x）=x2x+alnx，f（x）=，x0x1，2，f（x）0，x2，4，f（x）0，f（x）min=f（2）=26ln2，f（x）max= maxf（1），f（4），f（1）=0，f（4）=1212ln20，f（x）max=1212ln2；（2）函数f（x）既有极大值，又有极小值，f（x）=0在（0， +）内有两个不等实根，2x2x+a=0在（0，+）内有两个不等实根，令g（x）=2x2x+a，则，解得0a【思路点拨】（1）求导数，确定函数f（x）在1，4上的单调性，即可求函数f（x）在1，4上的最值；（2）函数f（x）既有极大值，又有极小值，f（x）=0在（0，+）内有两个不等实根，可得2x2x+a=0在（0，+）内有两个不等实根，即可求实数a的取值范围；