2022年高三数学上学期第五次月考试题 理(II)

2022年高三数学上学期第五次月考试题 理(II)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页.第卷3至5页.考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若为实数，则A. B. C. D. 2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是A B C D 3.已知实数、满足，则的最大值为A. B. C. D. 4.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是A B C D 5.已知，则A. B. C. D. 6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值分别为A.5，1 B.5，2 C.15，3 D.30，6 7.将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为A. B. C. D. 8.在菱形中，对角线，为的中点，则A. 8 B. 10 C. 12 D. 149.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5 10.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有A.144种 B.150种 C.196种 D.256种11.设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为A. B. C. D.12.设函数，其中，若关于不等式的整数解有且只有一个，则实数的取值范围为A. B C D 一、CDCAB DACBB DA二、13. 14. 15. 16.4第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.13.在的展开式中含的项的系数是 14.已知数列满足，则的最小值为 15.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，则三棱锥外接球体积为 16.是双曲线的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且 求的取值范围.17.解： 角成等差数列 2分根据正弦定理的 6分又为锐角三角形，则 8分 10分18.（本小题满分12分）已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.18.解：（1）由，得，解得2分而，即 4分可见数列是首项为2，公比为的等比数列.； 6分（2）， 8分故数列的前项和 10分 12分19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：19. （1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 1分因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为 3分（2） 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.6分（）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人， 可取0、1、2、3 7分， ， 的分布列为012311分的数学期望 12分20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，且，点在上.（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.20.解：取中点，连结,则，所以四边形为平行 四边形，故，又,所以,故 ,又，,所以,故有 5分如图建立空间直角坐标系则设,易得设平面的一个法向量为，则令，即 8分又平面的一个法向量为，解得，即，而是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则.故直线与平面所成的角的正弦值为 12分21.（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由（1）由题意知，即 又， 2分 ， 椭圆的方程为 4分(2)设，由得 ，. 6分, ,，, 8分 10分 12分22.（本小题满分12分）已知函数，其中常数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以证明.22解：（1）函数的定义域为， 由得，2分当时，所以在上为增函数；3分当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；4分当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；5分（2）令 则 ，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为，8分所以，所以，且，由，得， ， 10分令，则， 11分所以，在内为增函数，又因为所以，即：所以，. 12分高三第五次月考数学（理）答案一、CDCAB DACBB DA二、13. 14. 15. 16.4三、17.解： 角成等差数列 2分根据正弦定理的 6分又为锐角三角形，则 8分 10分18.解：（1）由，得，解得2分而，即 4分可见数列是首项为2，公比为的等比数列.； 6分（2）， 8分故数列的前项和 10分 12分19. （1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 1分因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为 3分（2） 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.6分（）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人， 可取0、1、2、3 7分， ， 的分布列为012311分的数学期望 12分 20.解：取中点，连结,则，所以四边形为平行 四边形，故，又,所以,故 ,又，,所以,故有 5分如图建立空间直角坐标系则设,易得设平面的一个法向量为，则令，即 8分又平面的一个法向量为，解得，即，而是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则.故直线与平面所成的角的正弦值为 12分21.【解析】（1）由题意知，即 又， 2分 ， 椭圆的方程为 4分(2)设，由得 ，. 6分, ,，, 8分 10分 12分22解：（1）函数的定义域为， 由得，2分当时，所以在上为增函数；3分当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；4分当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；5分（2）令 则 ，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为，8分所以，所以，且，由，得， ， 10分令，则， 11分所以，在内为增函数，又因为所以，即：所以，. 12分