2022年高二下学期第三次月考数学试卷（文科） 含解析(I)

2022年高二下学期第三次月考数学试卷（文科） 含解析(I)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（）ABCD2某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（）A6B12C18D163命题“xR，x32x+1=0”的否定是（）AxR，x32x+10B不存在xR，x32x+10CxR，x32x+1=0DxR，x32x+104若a、b为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则直线a平面的一个充分不必要条件是（）Aa且Ba且Cab且bDa且5直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（）A相切B相离C相交但不过圆心D相交且过圆心6已知命题p：x22x30；命题q：0x4若q是假命题，pq是真命题，则实数x的取值范围为（）A（，14，+）B（，13，+）C1，03，4D（，03，+）7执行题图的程序框图，则输出的结果为（）A66B64C62D608某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABC8D49如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（）A5BCD410如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2，则BC=（）ABCD411已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）A +1B +1C +1D +112设f（x）是R上的连续可导函数，当x0时，则函数的零点个数为（）A0B1C2D3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知复数z=，则它的共轭复数=14经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加万元15球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，BAC=30，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为16如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线上（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系18某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率19如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（）证明PQ平面DCQ；（）求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kACkBD=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值21已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值；（2）当x1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数（3）若a0，且对任意的x1，x21，e，都有，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC内接于圆O，AB=AC，ADAB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE求证：（1）BF是圆O的切线；（2）BE2=AEDF参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（）ABCD【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】由极值坐标点（，）的直角坐标，将M点坐标代入即可求得答案【解答】解：在坐标点的直角坐标，解得：，M（1，），故答案选：B2某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（）A6B12C18D16【考点】分层抽样方法【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数【解答】解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生本校共有学生150+150+400+300=1000，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查每个个体被抽到的概率是=，丙专业有400人，要抽取400=16故选D3命题“xR，x32x+1=0”的否定是（）AxR，x32x+10B不存在xR，x32x+10CxR，x32x+1=0DxR，x32x+10【考点】命题的否定【分析】因为特称命题“xR，x32x+1=0”，它的否定：xR，x32x+10即可得答案【解答】解：“xR，x32x+1=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，从而答案为：xR，x32x+10故选D4若a、b为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则直线a平面的一个充分不必要条件是（）Aa且Ba且Cab且bDa且【考点】平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】若a且，则有a，反之不成立，于是，“a且”是“a”成立的充分不必要条件【解答】解：若a且，则有a，反之不成立，于是，“a且”是“a”成立的充分不必要条件，故选D5直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（）A相切B相离C相交但不过圆心D相交且过圆心【考点】圆的参数方程【分析】求出圆的普通方程，得出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的关系得出结论【解答】解：圆的普通方程为（x2）2+（y1）2=25，圆的圆心为（2，1），半径r=5圆心到直线的距离d=40dr，直线与圆相交但不过圆心故选：C6已知命题p：x22x30；命题q：0x4若q是假命题，pq是真命题，则实数x的取值范围为（）A（，14，+）B（，13，+）C1，03，4D（，03，+）【考点】复合命题的真假【分析】解出命题p由q是假命题，pq是真命题，可得p是真命题，即可得出【解答】解：命题p：x22x30，解得x3或x1；命题q：0x4由q是假命题，pq是真命题，可得p是真命题，解得x4或x1则实数x的取值范围为（，14，+）故选：A7执行题图的程序框图，则输出的结果为（）A66B64C62D60【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=21+22+23+24+25的值，并输出【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：累加S=21+22+23+24+25的值，S=21+22+23+24+25=62故选C8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABC8D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，即可求出该几何体的表面积【解答】解：根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，该几何体的表面积为+222+2=12+4，故选：A9如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（）A5BCD4【考点】与圆有关的比例线段【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率【解答】解：由相交弦定理得，APPB=CPPD，22=CP1，解得：CP=4，又PD=1，CD=5，又O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d=故选：B10如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2，则BC=（）ABCD4【考点】与圆有关的比例线段【分析】由已知条件推导出ABCCDE，从而BC2=ABDE=12，由此能求出BC的值【解答】解：AB是圆O的直径，ACB=90即ACBD又BC=CD，AB=AD，D=ABC，EAC=BACCE与O相切于点C，ACE=ABCAEC=ACB=90CEDACB，又CD=BC，BC=2故选：B11已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）A +1B +1C +1D +1【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用【分析】先由得出F1PF2是直角三角形得PF1F2的面积，再把等量关系转化为用a，c来表示即可求双曲线C的离心率【解答】解：先由得出：F1PF2是直角三角形，PF1F2的面积=b2cot45=2ac从而得c22aca2=0，即e22e1=0，解之得e=1，e1，e=1+故选：A12设f（x）是R上的连续可导函数，当x0时，则函数的零点个数为（）A0B1C2D3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】由题意可得，x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的当x0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+）上是递增函数，xg（x）1恒成立，可得xg（x）在（0，+）上无零点同理可得xg（x）在（，0）上也无零点，从而得出结论【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点由于当x0时，当x0时，（xg（x）=（xf（x）=xf（x）+f（x）=x（）0， 所以，在（0，+）上，函数xg（x）单调递增函数又 xf（x）+1=1，在（0，+）上，函数 xg（x）=xf（x）+11恒成立，因此，在（0，+）上，函数 xg（x）=xf（x）+1 没有零点当x0时，由于（xg（x）=（xf（x）=xf（x）+f（x）=x（）0，故函数 xg（x）在（，0）上是递减函数，函数 xg（x）=xf（x）+11恒成立，故函数 xg（x）在（，0）上无零点综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知复数z=，则它的共轭复数=2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则它的共轭复数可求【解答】解：z=，则它的共轭复数=2i故答案为：2i14经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加0.254万元【考点】回归分析的初步应用【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，即可得到家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加的数字【解答】解：y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321年收入增加l万元时，年饮食支出y=0.254（x+1）+0.321可得：年饮食支出平均增加0.254万元故答案为：0.25415球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，BAC=30，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】根据正弦定理，求出ABC的外接圆半径r，进而根据球心O到截面的距离d=4，结合R=求出球的半径，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABC中BC=3，BAC=30，ABC的外接圆半径r满足：2r=6故r=3又球心O到截面的距离d=4，球的半径R=5故球的体积V=，故答案为：16如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为【考点】几何概型【分析】由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于7硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算公式可求【解答】解：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2cm以纸板的圆心为圆心，作一个半径2cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共点，此半径为2的圆面积是4所以有公共点的概率为=，无公共点的概率为P（A）=1=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线上（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系【解答】解：（1）由点A（，）在直线cos（）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为cos+sin=2，从而直线的直角坐标方程为x+y2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，圆心到直线的距离d=1，所以直线与圆相交18某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.065100=30，0.045100=20，0.025100=10从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为， =1；（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）=19如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（）证明PQ平面DCQ；（）求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；（）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式【解答】解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC在直角梯形PDAQ中可得，则PQDQ，又DQDC=D，所以PQ平面DCQ；（）设AB=a，由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积由（）知PQ为棱锥PDCQ的高而PQ=DCQ的面积为所以棱锥PDCQ的体积故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1：l20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kACkBD=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程【分析】（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设kAC=k，由kACkBD=，可得把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4SAOB=2|OA|OB|sinAOB，得到=4，代入计算即可证明【解答】解：（1）由题意可得，解得，椭圆的标准方程为（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x10，x20设kAC=k，kACkBD=，可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，联立，解得，=x1x2+y1y2=2，当且仅当时取等号可知：当x10，x20时，有最大值2当x10，x20有最小值2ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4SAOB=2|OA|OB|sinAOB=4=4=4=4=128，四边形ABCD的面积=为定值21已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值；（2）当x1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数（3）若a0，且对任意的x1，x21，e，都有，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明【分析】（1）把a=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义1，e分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在1，e上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a0和a0讨论打哦函数的单调性，特别是当a0时，求出函数f（x）在1，e上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x1，e时，方程f（x）=0根的个数；（3）a0判出函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，在规定x1x2后把转化为f（x2）+f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围【解答】解：（1）当a=4时，f（x）=4lnx+x2，函数的定义域为（0，+）当x时，f（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=4ln1+12=1，f（e）=4lne+e2=e24，所以函数f（x）在1，e上的最大值为e24，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得若a0，则在1，e上f（x）0，函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，由f（1）=10知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a0，由f（x）=0，得x=（舍），或x=若，即2a0，f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，由f（1）=10知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a2e2，f（x）=alnx+x2在1，e上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+ae20，所以方程f（x）=0在1，e上有1个实数根；若，即2e2a2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=10，f（e）=e2+a=当，即2ea2时，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是0当a=2e时，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是1当e2a2e时，f（e）=a+e20，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是2当2e2ae2时，f（e）=a+e20，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是1；（3）若a0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，不妨设x1x2，则变为f（x2）+f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在1，e单调递减，所以G（x）=0对x1，e恒成立，即a对x1，e恒成立，而在1，e单调递减，所以a所以，满足a0，且对任意的x1，x21，e，都有成立的实数a的取值范围不存在选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC内接于圆O，AB=AC，ADAB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE求证：（1）BF是圆O的切线；（2）BE2=AEDF【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】（1）连接BD，证明BF是O的切线，只需证明FBD=90；（2）由切割线定理可得BF2=AFDF，利用AF=AE，BE=BF，可得结论【解答】证明：（1）连接BD，则ADAB，BD是O的直径，AF=AE，FBA=EBA，AB=AC，FBA=C，C=D，D+ABD=90，FBA+ABD=90，即FBD=90，BF是O的切线；（2）由切割线定理可得BF2=AFDF，AF=AE，BE=BF，BE2=AEDFxx9月5日