2022年高三数学上学期10月月考试题 理(I)

2022年高三数学上学期10月月考试题 理(I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） 或 2“”是“”的（ ）充要条件 必要而不充分条件充分而不必要条件 既不充分也不必要条件3甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人，则不同分配方案共有 ()336 306 258 2964执行右边的程序框图，若，则输出的（ ） 开始?是输入p结束输出否5若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是( )6将函数f(x)sinxcosx的图象向左平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是 () B C D7(1)8展开式中不含x4项的系数的和为()A1 B0C1 D28.给出下列命题：函数 的定义域是（-3, 0）；在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是；如果数据x1、x2、xn 的平均值为，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、3xn+5 的方差为9S2；直线axy2a0与圆x2y29相交；A1B2 C3 D49已知点M是ABC的重心，若A=60，则的最小值为 ( )A B C D210已知正项数列an的前n项的乘积Tn (nN*)，bnlog2an，则数列bn的前n项和Sn中的最大值是()AS6 BS5CS4 DS311函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D12. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A B. C. D. 第卷二填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的指定位置）13某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生，现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了 人14设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1的值为_15设变量x，y满足约束条件：则的最大值为_16已知函数f(x)()xlog2x，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f(a)f(b)f(c)0，若实数d是方程f(x)0的一个解，那么下列四个判断：db；dc中有可能成立的是_三、解答题：（本大题共5小题，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17. (本小题满分10分) 已知函数f(x)sin2x(cos2xsin2x)1.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c，f(C)0，若向量m(1，sinA)与向量n(3，sinB)共线，求a，b的值18(本小题满分10分)某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司申报，总公司有、三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为、只要有两个部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万元的投资 (1)求甲项目能立项的概率；(2)设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X，求X的概率分布列及数学期望19. （本小题满分13分）如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BCD60，ABPBPD2，PC，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点(1)求证：PC平面BDE；(2)求证：PH平面ABCD；(3)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值20.（本小题满分13分）如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|3，|AB|4，|BC|，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等(1)建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；(2)过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由21（本小题满分14分）已知函数f(x)lnxax，aR.(1)若在x1处取极值求实数a的值；(2)在(1)的条件下：求函数f(x)的单调递减区间，并证明 (其中n！123n，nN且n2)；(3)若关于x的方程f(x)0有两个不同的解，求实数a的取值范围四选考题（从下列两道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22（本小题满分分）选修44：坐标系与参数方程选讲如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系23（本小题满分分）选修45：不等式证明选讲已知函数f(x)|2x1|x|.(1)求不等式f(x)0的解集；(2)若存在x0R，使得f(x0)m成立，求实数m的取值范围成都市龙泉一中高三第二次数学（理科）月考试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。B C A B C B A D B D A D12解:设椭圆的半长轴为，椭圆的离心率为，则.双曲线的实半轴为，双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得，当点看做是椭圆上的点时,有，当点看做是双曲线上的点时,有，两式联立消去得，即，所以，又因为，所以，整理得，解得，所以，即双曲线的离心率为.二填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的指定位置）13 185 14 _20_ 15 _9_ 16 _16解析：易知f(x)()xlog2x是定义域(0，)上的减函数，故f(x)只有一个零点d.由f(a)f(b)f(c)0及0abf(b)f(c)有两种可能：f(a)f(b)0f(c)或0f(a)f(b)f(c)所以abdc或dabc.故都有可能成立.三、解答题：17. 解析：(1)f(x)sin2xcos2x1sin(2x)1，(3分)当2x2k，kZ，即xk，kZ时，f(x)取得最小值2.f(x)的最小正周期为.(5分)(2)由f(C)0，得C.又c，得a2b2ab7，(7分)由向量m(1，sinA)与向量n(3，sinB)共线，得sinB3sinA，b3a.(9分)解方程组，得.(10分)18解：解：(1)设、三个部门审批通过分别计为事件A，B，C，则P（A），P（B），P（C）（1分）甲项目能立项的概率为：，甲项目能立项的概率为；（3分）（2）X的可能取值为0，100，200，300 （4分）， ，（8分）X的概率分布列为：X0100200300PX的数学期望为EX（万元）（10分）19. 解：(1)证明：连接OE，因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EOPC.又EO平面BDE，PC平面BDE.所以PC平面BDE.(4分)(2)证明：连接OP，因为PBPD，所以OPBD.在菱形ABCD中，BDAC，又因为OPACO，所以BD平面PAC.又PH平面PAC，所以BDPH.在直角三角形POB中，OB1，PB2，所以OP.又PC，H为OC的中点，所以PHOC.又因为BDOCO，所以PH平面ABCD.(8分)(3)过点O作OzPH，所以Oz平面ABCD.如图，以O为原点，OA，OB，Oz所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系可得，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，P(，0，)，E(，0，)所以(，1,0)，(，0，)，(，0，)(11分)设n(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，则，即，令x1，则n(1，)设直线CE与平面PAB所成的角为，可得sin|cosn，|.所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为.(13分)20. 解： (1)以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A(2,0)，B(2,0)，C(2，)，D(2,3)依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分因为a(|AD|BD|)4，c2，b212，所以所求方程为1(2x4,0y2)(5分)(2)设这样的直线存在，其方程为yk(x2)，即yk(x2)，将其代入1，得(34k2)x2(8k16k2)x16k216k360.(7分)设弦的端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2，知x1x24，所以4，解得k所以弦MN所在直线方程为yx2，(11分)验证得知，这时M(0,2)，N(4,0)适合条件故这样的直线存在，其方程为yx2.(1分)21解： (1)f(x)a，(1分)因为函数f(x)在x1时取极值，所以f(1)1a0，(2分)经检验：a1满足f(x)在x1时取极大值(3分)(2)由(1)f(x)lnxx，f(x)11，所以1，)为f(x)的单调递减区间，(5分)所以x1时，f(x)lnxxf(1)1，所以lnxx1.(当且仅当x1时，等号成立)故ln10，ln21，ln32，lnnn1，所以ln1ln2ln3lnnln(n！)0123(n1)，所以2ln(n！)(n1)n，即：ln(n！)20，x(0，)即f(x)lnxax在(0，)为单调增函数，故f(x)0在(0，)不可能有两实根(10分)所以a0.令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)递增，当x(，)时，f(x)0时，f(x)与x轴有两个交点当且仅当lna10.解得0a0.由几何意义知ylnx与直线yax交点的个数为2时，直线yax的变化应是从x轴到与ylnx相切之间的情形(11分)设切点(t，lnt)k(lnx)|xt，所以切线方程为：ylnt(xt)(12分)由切线与yax重合知a，lnt1te，a，(13分)故实数a的取值范围为(0，)(14分) 方法3：转化为a处理，根据步骤相应计分22解：(1)如图，设M(，)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接OM，BM，在RtOBM中，|OM|OB|cos BOM，所以2cos .可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足2cos ，故2cos 为所求圆的极坐标方程（5分）(2)由(t为参数)，得直线l的普通方程为y(x1)，即直线l的普通方程为xy10.由2cos ，得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21.因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相切（10分）23解：(1)由题知f(x)当x时，由x10得x1，当x0时，由3x10得x，即x0，当x0时，由x10得x1，即x0.综上，不等式的解集是.（5分）(2)由(1)知，f(x)minf.若存在x0R，使得f(x0)m成立，即m.实数m的取值范围为.（10分）