2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(VIII)

2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(VIII)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1直线xy+1=0的倾斜角是（）ABCD2双曲线=1的离心率是（）A2BCD3命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x0204抛物线y2=2x的焦点到直线xy=0的距离是（）ABCD5一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）A16：9B9：16C27：8D8：276双曲线5x2ky2=5的一个焦点坐标是（2，0），那么k的值为（）A3B5CD7一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）图如图所示，则该四棱锥侧面积是（）A180B120C60D488从点（1，0）射出的光线经过直线y=x+1反射后的反射光线射到点（3，0）上，则该束光线经过的最短路程是（）ABCD29已知A（1，1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N点，则|MN|+|MA|的最小值为（）A5BCD10以双曲线=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）Ax2+y210x+9=0Bx2+y210x+16=0Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+20x+9=011设P为双曲线x2=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（）AB12CD2412已知双曲线=1（ab0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于PQ两点F为椭圆右焦点，且PFQF，则双曲线的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.）13若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于14若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为15已知椭圆，直线l交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的一般方程为16圆x2+y2=9的切线MT过双曲线=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|PT|=三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知命题p：x|x2+4x0，命题，则p是q的什么条件？18（12分）已知两条直线l1：（a1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值19（12分）已知A（2，0），B（3，）（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为的椭圆的标准方程；（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程20（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程21（12分）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p0）的焦点，与抛物线交于两点AB，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，求的最小值22（12分）已知椭圆C：的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求F1PQ面积的最大值参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1直线xy+1=0的倾斜角是（）ABCD【考点】直线的倾斜角【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小【解答】解：直线y+1=0 即 y=x+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则 0，且tan=，故 =60，故选B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小求出直线的斜率是解题的关键2双曲线=1的离心率是（）A2BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的离心率为=，化简得到结果【解答】解：由双曲线的离心率定义可得，双曲线的离心率为=，故选B【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于容易题3命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x020【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xR，|x|+x20”的否定x0R，|x0|+x020，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4抛物线y2=2x的焦点到直线xy=0的距离是（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程，求得焦点坐标，根据点到直线的距离公式，即可求得答案【解答】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），由点到直线的距离公式可知：F到直线xy=0的距离d=，故答案选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题5一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）A16：9B9：16C27：8D8：27【考点】球内接多面体【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与底面半径之比【解答】解：V圆锥=，V球=，V圆锥=V球，r=Rh=Rh：R=16：9故选A【点评】本题是基础题，考查圆锥的体积、球的体积的计算公式，考查计算能力6双曲线5x2ky2=5的一个焦点坐标是（2，0），那么k的值为（）A3B5CD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的方程求出a，b，c，通过双曲线的焦点坐标，求出实数k的值【解答】解：因为双曲线方程5x2ky2=5，即x2=1，所以a=1，b2=，所以c2=1+，因为双曲线的一个焦点坐标（2，0），所以1+=4，所以k=故选：D【点评】本题考查双曲线的基本性质，焦点坐标的应用，考查计算能力7一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）图如图所示，则该四棱锥侧面积是（）A180B120C60D48【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由题意可知，该几何体是正四棱锥，底面是正方形，所以该四棱锥侧面积是四个相等的三角形由正视图可知该几何体的高为4，斜面高为5，正方形边长为6，则可以求侧面积【解答】解：由题意可知，该几何体是正四棱锥，底面是正方形，所以该四棱锥侧面积是四个相等的三角形，由正视图可知该几何体的高为4，斜面高为5，正方形边长为6，那么：侧面积该几何体侧面积为：415=60故选：C【点评】本题考查了对三视图的认识能力和投影关系属于基础题8从点（1，0）射出的光线经过直线y=x+1反射后的反射光线射到点（3，0）上，则该束光线经过的最短路程是（）ABCD2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】由题意可得，点P（1，0）关于直线xy+1=0的对称点B（1，2）在反射光线上，可得光线从P到Q所经过的最短路程是线段BQ，计算求得结果【解答】解：由题意可得，点P（1，0）关于直线xy+1=0的对称点B（1，2）在反射光线上，故光线从P到Q（3，0）所经过的最短路程是线段BQ=2，故选：A【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标，反射定理的应用，属于基础题9已知A（1，1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N点，则|MN|+|MA|的最小值为（）A5BCD【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，数形结合可知，当F、M、A共线时，|MN|+|MA|的值最小为|FA|，再由两点间的距离公式得答案【解答】解：如图，由抛物线C：y2=4x，得F（1，0），又A（1，1），|MN|+|MA|的最小值为|FA|=故选：C【点评】本题考查抛物线的性质，考查了数学转化思想方法，是中档题10以双曲线=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）Ax2+y210x+9=0Bx2+y210x+16=0Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+20x+9=0【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x3y=0，圆方程为（x5）2+y2=16，即x2+y210x+9=0，故选A【点评】本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用11设P为双曲线x2=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（）AB12CD24【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线定义得|PF1|PF2|=2a=2，所以，再由PF1F2为直角三角形，可以推导出其面积【解答】解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|PF2|=3x2x=x=2a=2，所以，PF1F2为直角三角形，其面积为，故选B【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题12已知双曲线=1（ab0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于PQ两点F为椭圆右焦点，且PFQF，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=，利用弦长公式，建立方程，即可得出结论【解答】解：由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=，|PQ|=2=4，5c2=4a2+20b2，e=，故选：A【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.）13若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9【考点】双曲线的简单性质【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x3|=6，由此能求出|PF2|【解答】解：设|PF2|=x，双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，a=3，b=4c=5，|x3|=6，解得x=9或x=3（舍）|PF2|=9故答案为：9【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用14若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为4【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为4故答案为：4【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题15已知椭圆，直线l交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的一般方程为2x8y9=0【考点】椭圆的简单性质【分析】设以点P（，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，再相减可得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，（x1x2）4（y1y2）=0，k=【解答】解：设以点P（，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，再相减可得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，（x1x2）4（y1y2）=0，k=点P（，1）为中点的弦所在直线方程为y+1=（x），整理得：2x8y9=0故答案为：2x8y9=0【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于基础题16圆x2+y2=9的切线MT过双曲线=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|PT|=23【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF|，|PT|=|MF|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|PT|=|FT|（|PF|PF|）=23【解答】解：设双曲线的右焦点为F，则PO是PFF的中位线，|PO|=|PF|，|PT|=|MF|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，|OF|=，MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，RtOTF中，|FT|=2，|PO|PT|=|PF|（|MF|FT|）=|FT|（|PF|PF|）=23，故答案为：23【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）（xx秋九龙坡区校级期中）已知命题p：x|x2+4x0，命题，则p是q的什么条件？【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】化简p：x|x2+4x0=x|x4或x0， =x|x4或0x4，可得p；q，即可判断出结论【解答】解：p：x|x2+4x0=x|x4或x0， =x|x4或0x4，p：x4，0；q：x4，04，+）p是q的充分不必要条件【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法、复合命题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（xx秋九龙坡区校级期中）已知两条直线l1：（a1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】（1）若l1l2，则a（a1）21=0，得a=2或1，即可求实数a的值；（2）若l1l2，则（a1）1+2a=0，即可求实数a的值【解答】解：（1）由a（a1）21=0，得a=2或1，经检验，均满足（2）由（a1）1+2a=0，得【点评】本题考查两条直线平行、垂直关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础19（12分）（xx秋九龙坡区校级期中）已知A（2，0），B（3，）（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为的椭圆的标准方程；（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程【分析】（1）利用A为长轴右顶点，离心率为，确定椭圆的几何量，即可得到标准方程（2）利用双曲线的定义，求出a，可得b，即可得到标准方程【解答】解：（1）由题意，a=2，c=，b=1，椭圆的标准方程为=1；（2）由题意=75=2a，a=1，c=2，b=，双曲线的标准方程是=1【点评】本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定椭圆、双曲线的几何量是关键20（12分）（xx秋南京期末）已知以点P为圆心的圆经过点A（1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程【解答】解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），直线CD方程为y2=（x1）即x+y3=0 （2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得： a+b3=0 （8分）又直径|CD|=，（a+1）2+b2=40 （10分）由解得或圆心P（3，6）或P（5，2）（12分）圆P的方程为（x+3）2+（y6）2=40 或（x5）2+（y+2）2=40（14分）【点评】此题考查直线方程的点斜式，和圆的标准方程21（12分）（xx秋九龙坡区校级期中）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p0）的焦点，与抛物线交于两点AB，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，求的最小值【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐标运算，求得的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值【解答】解：（1）由条件知lAB：y=x，则，消去y得：x23px+p2=0，则x1+x2=3p，由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x（2）直线l的方程为：y=x+，于是设N（x0，x0+），A（x1，y1），B（x2，y2）则=（x1x0，y1x0），=（x2x0，y2x0）即=x1x2x0（x1+x2）+y1y2（x0+）（y1+y2）+（x0+）2，由第（1）问的解答结合直线方程，不难得出x1+x2=3p，x1x2=p2，且y1+y2=x1+x2p=2p，y1y2=（x1）（x2）=p2，则=24px0p2=2（x0p）2p2，当x0=时， 的最小值为p2【点评】此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算22（12分）（xx秋九龙坡区校级期中）已知椭圆C：的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求F1PQ面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）写出直线方程的截距式，化为一般式，由点到直线的距离公式得到关于a，b的方程，结合椭圆离心率及隐含条件求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意设直线方程，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P、Q的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得F1PQ面积的最大值【解答】解：（1）直线AB的方程为，即bxayab=0，原点到直线AB的距离为，即3a2+3b2=4a2b2，又a2=b2+c2，由可得：a2=3，b2=1，c2=2故椭圆方程为；（2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为：，联立直线与椭圆方程：则，将代入得：，令，则，当且仅当，即，即k=1时，PQF1面积取最大值【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题