2022年高中数学 直线与圆锥曲线 板块一 直线与椭圆(2)完整讲义（学生版）

2022年高中数学 直线与圆锥曲线 板块一 直线与椭圆(2)完整讲义（学生版）1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且3椭圆的几何性质（用标准方程研究）：范围：，；对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆4直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：若，相交；相离；相切若，得到一个一次方程：为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；为抛物线，则与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题典例分析【例1】 设椭圆过点，且左焦点为求椭圆的方程；当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上【例2】 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程；设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；在的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围【例3】 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为求椭圆的标准方程；若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【例4】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点【例5】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【例6】 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点求椭圆的方程；是否存在直线，使得若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由若是椭圆经过原点的弦，求证：为定值【例7】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形求椭圆的方程；若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点证明：为定值在的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【例8】 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线求椭圆的离心率；设为椭圆上任意一点，且，证明为定值【例9】 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点且离心率过定点的直线与椭圆相交于，两点求椭圆的方程；在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由