2022年高三数学大一轮复习 13.2合情推理与演绎推理教案 理 新人教A版

2022年高三数学大一轮复习 13.2合情推理与演绎推理教案 理 新人教A版 xx高考会这样考1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题复习备考要这样做1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理合情推理的过程(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的基本模式：a、b、cM且a、b、c具有某属性， 结论：dM，d也具有某属性(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a，b，c； 结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同)2 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)“三段论”可以表示为大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.难点正本疑点清源1 在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明2 应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的3 演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性1 (xx陕西)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列第五个不等式为10)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).3 给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案B4 “因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错答案A5 (xx江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于 ()A28 B76 C123 D199答案C解析观察规律，归纳推理从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.题型一归纳推理例1已知函数f(x)，(1)分别求f(2)f，f(3)f，f(4)f的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)f(2)f(3)f(2 011)fff.思维启迪：所求函数值的和应该具有规律性，经观察可发现f(x)f1.解(1)f(x)，f(2)f1，同理可得f(3)f1，f(4)f1.(2)由(1)猜想f(x)f1，证明：f(x)f1.(3)由(2)可得，原式f(1)f(1)2 0102 010.探究提高本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法已知经过计算和验证有下列正确的不等式：2，2，0，n0，则当mn20时，有0，n0，则当mn20时，有0且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.归纳不准确致误典例：(5分)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 009a2 010a2 011等于()A1 003 B1 005 C1 006 D2 010易错分析本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2nn(nN*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n3a4n10(nN*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n为偶数时ann，就会得到a2 009a2 010a2 0112 010的错误结论，而选D.解析a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，这个数列的规律是奇数项为1，1,2，2,3，偶数项为1,2,3，故a2 009a2 0110，a2 0101 005，故a2 009a2 010a2 0111 005.答案B温馨提醒由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具.方法与技巧1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)失误与防范1 合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2 演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性3 合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确2 由，若ab0，m0，则与之间的大小关系为()A相等 B前者大C后者大 D不确定答案B3 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析正确；错误4 观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于 ()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)二、填空题(每小题5分，共15分)5 在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_.答案解析通过类比可得R.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径6 在平面内有n(nN*，n3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是_，f(n)的表达式是_答案16f(n)解析由题意，n条直线将平面分成1个平面区域，故f(5)16，f(n).7 仔细观察下面和的排列规律：若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_答案14解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.三、解答题(共22分)8 (10分)已知函数yf(x)，满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数9 (12分)f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1) 1*11，(2)(n+1) *1n*1+1，则n*1等于()An Bn1 Cn1 Dn2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*11，n*1n.2 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0Da1，h1h0Da2，D运算规则为0D00,0D11,1D01，1D10.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100 C10111 D00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h00D11，而h1h0Da21D10，故传输信息应是10110.3 (xx课标全国)设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln 2 B.(1ln 2)C1ln 2 D.(1ln 2)答案B解析由题意知函数yex与yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与yex上点的最小距离的2倍，设yex上点(x0，y0)处的切线与yx平行，有ex01，x0ln 2，y01，yx与yex上点的最小距离是(1ln 2)，所求距离为(1ln 2)2(1ln 2)二、填空题(每小题5分，共15分)4 给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线yx与双曲线y的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y2x与双曲线y的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y3x与双曲线y的一个交点；请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数)为_答案点(n，n2)是直线ynx与双曲线y的一个交点解析观察题中给出的命题易知，命题n中交点坐标为(n，n2)，直线方程为ynx，双曲线方程为y.故猜想命题n：点(n，n2)是直线ynx与双曲线y的一个交点5 (xx湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个，11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个答案90910n解析(1)4位回文数有：1001,1111,1221，1991,10个xx,2112,2222，2992,10个9009,9119,9229，9999,10个共90个(2)5位回文数有：100个100个5位回文数共9102个，又3位回文数有9101个2n1位回文数共910n个6 (xx福建)数列an的通项公式anncos 1，前n项和为Sn，则S2 012_.答案3 018解析当n4k1(kN)时，an(4k1)cos 11，当n4k2(kN)时，an(4k2)cos 1(4k2)14k1，当n4k3(kN)时，an(4k3)cos 11，当n4k4(kN)时，an(4k4)cos 1(4k4)14k5，a4k1a4k2a4k3a4k414k114k56.S2 012a1a2a3a4a5a2 012(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a2 009a2 010a2 011a2 012)65033 018.三、解答题7 (13分)已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足aS2n1，nN*.数列bn满足bn，Tn为数列bn的前n项和(1)求a1、d和Tn；(2)若对任意的nN*，不等式Tnn8(1)n恒成立，求实数的取值范围解(1)在aS2n1中，分别令n1，n2，得即解得a11，d2，an2n1.bn，Tn.(2)当n为偶数时，要使不等式Tnn8(1)n恒成立，即需不等式2n17恒成立2n8，等号在n2时取得，此时需满足25.当n为奇数时，要使不等式Tnn8(1)n恒成立，即需不等式2n15恒成立2n是随n的增大而增大，n1时2n取得最小值6，此时需满足21.综合可得21，的取值范围是|21