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22.6切变变换1由矩阵M或N确定的变换称为切变变换，矩阵M，N称为切变变换矩阵2矩阵把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位当ky0时，沿x轴正方向移动；当ky0时，沿x轴负方向移动；当ky0时，保持不变，在此变换下，x轴上的点为不动点3矩阵把平面上的点(x，y)沿y轴方向平移_|kx|个单位当kx0时，保持不变，在此变换下，y轴上的点为不动点求点或平面图形在切变变换作用下的象例1画出平行四边形ABCD，其中A(0,0)，B(2,0)，C(4,1)，D(2,1)，在切变变换的作用下对应的图形，并指出在这个变换下的不变量思路点拨把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位，此题中k2，故每个点的纵坐标不变，横坐标沿x轴负方向平移2y个单位精解详析变换矩阵是平行于x轴的切变变换矩阵，在这个变换下，平行四边形上的每个点的纵坐标不变，横坐标沿x轴的负方向平移2y个单位，设变换后平行四边形的顶点是A，B，C，D，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，变换前后的图形如图所示，其中线段AB上的点为不变量解决此类问题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系，此关系的确定可通过矩阵与向量的乘法规则完成1求直线x1在矩阵M所确定的变换作用下的象解：因为M ，所以所以直线x1在矩阵所确定的变换的作用下的结果是直线xy10.2如图所示，已知矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段解：因为 ， ， ， .所以矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形ABCD.这里A(2，1)，B(4,1)，C(1,1)，D(5，1)，如图所示线段EF为该切变变换下的不变线段求切变变换矩阵例2如图，在切变变换下，平行四边形ABCD变换为平行四边形ABCD，试写出这个切变变换的变换矩阵，指出其中的不变线段思路点拨观察各点变换前后坐标变化特点，易知是何种切变变换，确定k值精解详析显然A，B，C，D各点的横坐标不变，纵坐标各自加上了x，故这个切变变换的变换矩阵是，这个变换中只有平行四边形中与y轴相交部分的线段是不变量这类试题既可以通过观察，找到k值，也可以根据待定系数的方法确定k值，如例2根据点A(3，2)变换前后的坐标可得1k(3)(2)，即得k1.根据两类切变变换的变换公式，平行于x轴的切变变换x轴上的点是不动点，平行于y轴的切变变换y轴上的点是不动点3如图已知正方形ABCD在矩阵M对应的线性变换的作用下变成ABCD，求矩阵M.解：由图知，A(0,0)变换为A(0,0)，B(1,0)变换为B(1,1)，C(1,1)变换为C(1,2)，D(0,1)变换为D(0,1)，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点为不动点，故可得M.4如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换T对应的矩阵M.解：从图中可以看出，T是一个切变变换，且T：.故T对应的变换矩阵为M.验证如下： ， ， ， .所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边形ABCD.1求图形F(x，y)|0x2,0y2在矩阵A对应的线性变换作用下的图形解：易知图形F为正方形，如图，其中，O(0,0)，A(2,0)，B(2,2)，C(0,2)，设变换后的图形为OABC，所以 ， ， ， .所以O、A、B、C的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(8,2)、(6,2)，于是OA(2,0)，CB(2,0)，OC(6,2)，OA綊CB，又OAOC0，所以四边形OABC为平行四边形2已知直线l：y2x1，变换T对应的矩阵M，l在T变换下得到的图像为l.求l的方程解：设P(x0，y0)是直线l上的任一点，该点在变换T对应的矩阵M作用下对应的点P的坐标为(x，y)则 .点P(x0，y0)在直线y2x1上，y2(xy)1，即2x3y10.所求的l的方程为2x3y10.3如图所示，已知ABC在变换T的作用下变成ABC，试求变换T对应的矩阵M.解：从ABC到ABC对应的是x轴方向上的切变变换，因为点A，B在x轴上，原地不变，注意到C(1,1)C(1,1)，由此可知该变换使得横坐标依纵坐标的比例为2.从而这个变换对应的矩阵为.4设直线y2x在矩阵所确定的变换的作用下得到曲线F，求曲线F的解析式解：因为 ，所以代入y2x，整理得2x7y0.所以直线y2x在矩阵所确定的变换的作用下的结果是直线2x7y0.5已知曲线F在矩阵确定的变换作用下所得到的曲线的方程为xy1，求曲线F的方程解：由 得代入直线xy1得曲线F的方程所以曲线F的方程为2xy1.6已知ABC在变换T作用下变成ABC，其中A(1,0)，B(1,0)，C(1,1)，A(1,0)，B(1,0)，C(2,1)，试求变换T对应的矩阵M.解：由题意知，变换T是切变变换，设M，则 ，即k3.所以M.7.图中的正方形，每接受一个矩阵命令就作一次图形变换，从现在图中位置，按MNP的顺序依次完成一组变换，画出每一次变换后的示意图，这里M，N，P.解：8对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质(如线段长度、角度、周长、面积)有变化吗？试以切变变换对应的矩阵和平行四边形ABCD为例加以说明，其中A(0,0)，B(2,2)，C(6,2)，D(4,0)解：设A、B、C、D四点在矩阵对应的切变变换作用下依次得到A1，B1，C1，D1，则有： ， ， ， ，所以平行四边形ABCD在矩阵对应的切变变换作用下得到平行四边形A1B1C1D1(如图所示)，其中A1(0，0)，B1(4,2)，C1(8,2)，D1(4,0)观察图形可知，切变变换后线段AD、BC的长度不变，线段AB和CD的长度改变，平行四边形ABCD的四个角大小改变，周长也改变，但是面积没有改变7
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