2022年高三数学大一轮复习 2.8函数与方程教案 理 新人教A版

2022年高三数学大一轮复习 2.8函数与方程教案 理 新人教A版 xx高考会这样考1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力复习备考要这样做1.准确理解函数零点与方程的根，函数图象与x轴交点之间的关系，能根据零点存在性定理和二分法求方程近似解；2.会利用函数值域求解“af(x)有解”型问题；3.利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题1 函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个无3. 二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|0，f(4)ln 420，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k3.3 (xx湖北)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为 ()A4B5C6D7答案C解析当x0时，f(x)0.又因为x0,4，所以0x216.因为5160.f(x)在其定义域上是严格单调递增函数f()e40，f(0)e040320，f()e20，f()f()0.题型一函数零点的判断例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3思维启迪：第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解解(1)方法一f(1)123118200，f(1)f(8)log2210，f(3)log253log2830，f(1)f(3)0，f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点题型三二次函数的零点问题例3已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围思维启迪：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图， 然后用函数性质加以限制解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得即m.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组即2.(2)由已知条件解得2a.(3)由已知条件f(2)2.(4)由已知条件f(1)f(3)0，解得a3.检验：当f(3)0，即a时，方程的两解为x，x3，当f(1)0，即a3时，方程的两解为x1，x5，可知a3.当a2.即a2时f(x)x24x4(x2)2，方程的解x1x22，a2，综上有a2或a0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.探究提高对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决 (xx天津)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_答案(0,1)(1,4)解析根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1k0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根审题视角(1)yg(x)m有零点即yg(x)与ym的图象有交点，所以可以结合图象求解(2)g(x)f(x)0有两个相异实根yf(x)与yg(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解规范解答解(1)方法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，3分因而只需m2e，则yg(x)m就有零点6分方法二作出g(x)x (x0)的大致图象如图3分可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.6分(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x (x0)的大致图象如图8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.10分故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)12分温馨提醒(1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解(2)本题的易错点是确定g(x)的最小值和f(x)的最大值时易错要注意函数最值的求法方法与技巧1 函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2 研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值4 转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题失误与防范1 函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不必要；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 方程|x22x|a21 (a0)的解的个数是 ()A1 B2 C3 D4答案B解析a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点方程有两解点评y|x22x|的图象画不准确致误2 (xx福建)若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)答案C解析方程x2mx10有两个不相等的实数根，m240，m2或m0时，由f(x)2ln x0，得xe2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.4 已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则()Aabc BacbCbac Dcab答案B解析由于f(1)10，且f(x)为单调递增函数故f(x)2xx的零点a(1,0)g(2)0，故g(x)的零点b2；h10，故h(x)的零点c，因此ac0时，f(x)2 014xlog2 014x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_答案3解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 014xlog2 014x在区间(0，)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.6 (xx深圳模拟)已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_答案x1x2x3解析令x2x0，即2xx，设y2x，yx；令xln x0，即ln xx，设yln x，yx.在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx，如图：x10x21，所以x1x2x3.7 若f(x) 则函数g(x)f(x)x的零点为_答案1或1解析即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为x1或x1.三、解答题(共25分)8 (12分)判断函数f(x)4xx2x3在区间1,1上零点的个数，并说明理由解因为f(1)410，所以f(x)在区间1,1上有零点又f(x)42x2x222，当1x1时，0f(x)，所以f(x)在1,1上单调递增所以f(x)在1,1上有且只有一个零点9 (13分)已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点解f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt (t0)，则t2mt10.当0，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知，m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 (xx辽宁)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为 ()A5 B6 C7 D8答案B解析根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若01时，y1，ycos x1，所以两图象只有一个交点，即方程cos x0在0，)内只有一个根，所以f(x)cos x在0，)内只有一个零点，所以选B.3 (xx福州质检)已知函数f(x)log2xx，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的值为 ()A恒为负 B等于零C恒为正 D不小于零答案A解析在同一坐标系中作出ylog2x和yx的图象，由图象知f(x1)0.二、填空题(每小题4分，共12分)4 用二分法求方程x22的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_答案7解析设至少需要计算n次，由题意知100，由2664,27128知n7.5 已知函数yf(x) (xR)满足f(x2)f(x)，当x1,1时，f(x)|x|，则yf(x)与ylog7x的交点的个数为_答案6解析因为f(x2)f(x)，所以yf(x)为周期函数，其周期为2.在同一直角坐标系中，画出函数yf(x)和ylog7x的图象如图，当x7时，f(7)1，log771，故yf(x)与ylog7x共有6个交点6 (xx海淀调研)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)三、解答题(13分)7 (1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，有5m1.故m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图象由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点故a的取值范围为(4,0)