2022年高三第二次月考 数学试题

2022年高三第二次月考 数学试题一填空题（每小题4分，共52分）：1.已知，且是第二象限角，则 2.已知平面向量的夹角为60，则3. 已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，则数列各项的和为 4.已知函数是函数的反函数，则 5.直线和直线具有相同的法向量.则6.已知数列是等差数列，则过点和点的直线的倾斜角是 .（用反三角函数表示结果）7.圆的一条弦的中点为，这条弦所在的直线方程为_8.在等比数列中，且，则的最小值为 9.设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于_10.若直线与圆相交于P、Q两点，且POQ120（其中O为原点），则k的值为_11.已知函数若满足，（、互不相等），则的取值范围是 . 12. 数列满足性质“对任意正整数，都成立”且，则的最小值为 13. 已知函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 二.选择题（每小题4分，共16分）：14. 若直线与直线的夹角为，则实数等于 ( )A.； B.； C.； D.或15.已知向量，向量，则向量与的夹角为 ( )A. ； B. ； C. ； D. .16.已知直线的方程是, 的方程是(，则下列各示意图中，正确的是 ( )17.函数则不等式的解集是 ( )A. B. C. D.三解答题18.（本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 已知向量且与向量夹角为，其中A，B，C是的内角。（1）求角B的大小；（2）求的取值范围。19. （本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知向量，且.点(1)求点的轨迹方程； (2)过点且以为方向向量的一条直线与轨迹方程相交于点两点，所在的直线的斜率分别是、，求的值； 20(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分已知函数，数列满足 ，(1)若数列是常数列，求a的值；(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图1，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；图2图1（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值22(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分 已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并证明；(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值23. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列满足前项和为,.（1）若数列满足,试求数列前3项的和； （2）（理）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由； （文）若数列满足，求证：是为等比数列； （3）当时，对任意,不等式都成立，求的取值范围.参考答案一填空题（每小题4分，共52分）：1.已知，且是第二象限角，则 2.已知平面向量，的夹角为60，则3. 已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，则数列各项的和为 32 4.已知函数是函数的反函数，则5.直线和直线具有相同的法向量.则6.已知数列是等差数列，则过点和点的直线的倾斜角是（用反三角函数表示结果）7.圆的一条弦的中点为，这条弦所在的直线方程为8.在等比数列中，且，则的最小值为9.设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于10.若直线与圆相交于P、Q两点，且POQ120（其中O为原点），则k的值为11.已知函数若满足，（、互不相等），则的取值范围是12. 数列满足性质“对任意正整数，都成立”且，则的最小值为 28 13. 已知函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 36 二.选择题（每小题4分，共16分）：14. 若直线与直线的夹角为，则实数等于 ( D )A.； B.； C.； D.或15.已知向量，向量，则向量与的夹角为 ( D )A. ； B. ； C. ； D. .16.已知直线的方程是, 的方程是(，则下列各示意图中，正确的是 ( D )17.函数则不等式的解集是 ( C )A. B. C. D.三解答题18.（本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 已知向量且与向量夹角为，其中A，B，C是的内角。（1）求角B的大小；（2）求的取值范围。解：（1）向量所成角为，又，即 （2）由（1）可得19. （本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知，且。点(1)求点的轨迹方程； (2)过点且以为方向向量的一条直线与轨迹方程相交于点两点，所在的直线的斜率分别是、，求的值； 解：（1） （2）设直线的方程： 联立消去得：所以， 同法消去得：，所以 20(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分已知函数，数列满足 ，(1)若数列是常数列，求a的值；(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求解 (1)，数列是常数列，即，解得，或 所求实数的值是1或2 (2)，即 数列是以为首项，公比为的等比数列，于是 由即，解得 21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图1，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；图2图1（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值解：（1）由题意，得在线段CD：上，即， 又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK， 所以 所以的取值范围是。 （2）由题意，得 所以 则， 因为函数在单调递减所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米22(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分 已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并证明；(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值解 (1) 是奇函数，对任意，有，即 化简此式，得恒成立，必有，解得 (2) 当时，函数上是单调增函数理由：令 设且，则：在上单调递减， 于是，当时，函数上是单调增函数 (3) ， 依据(2)，当时，函数上是增函数， 即，解得 23. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列满足前项和为,.（1）若数列满足,试求数列前3项的和； （2）（理）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由； （文）若数列满足，求证：是为等比数列； （3）当时，对任意,不等式都成立，求的取值范围.解：（1） （2）（理）当时,数列成等比数列； 当时,数列不为等比数列 理由如下:因为, 所以, 故当时,数列是首项为1,公比为等比数列； 当时,数列不成等比数列 （文）因为 所以 故当时,数列是首项为1,公比为等比数列； （3）,所以成等差数列当时, 因为 =() 又 所以单调递减 当时，最大为 所以