2022年高三数学 简易逻辑教案同步教案 新人教A版

2022年高三数学 简易逻辑教案同步教案 新人教A版一、教学进度 高考总复习之二-简易逻辑命题，四种命题的关系，充要条件二、 复习指导逻辑是正确解题的基础，逻辑错误会导致全功尽弃是否命题的关键是看它能否判定真假，是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词：或、且、非，如果，那么原命题：若p，则q：逆命题：若q，则p：否命题：若非p，则非q，逆否命题：若非q，则非p原命题与逆否命题互为逆否，同真假逆命题与否命题互为逆否，同真假.反证法就是从原命题的否定出发，推出矛盾（这个矛盾，指的是与已知条件矛盾，或与公理，定理矛盾，或与假设矛盾）从而说明原命题的否定是错误的，这样就确立了原命题的正确性。要分清充分条件和必要条件，在证明充要条件时要分清充分性和必要性，若pq，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”三、典型例题讲评例1在ABC中，P：AB， q1=sinAsinB，q2：cosAcosB，q3：cotAcotB，q4：sinAcosB其中p是：（i=1，2，3，4）的什么条件？P是q1的充要条件，原因如下：ABab2RsinA2RsinB，sinAsinB；P是q2的充要条件，原因如下：函数y=cosx在0，上单调递减，而A，B0，ABcosAcosB；P是q3的充要条件，理由类似P既不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件，理由如下：若ABC，A=900，B=600，则sinAcosB，若ABC中，A=1350，B=300，则sinAcosB例2P为ABC内（含边界）任一点，“p到三边距离之和为定值”是“ABC是正三角形”的什么条件？证明你的结论。充要条件.充分性，分别取p为A、B、C，则它到三边距离之和分别为ha，hb，hc，由题设ha=hb=hc，由面积公式，a=b=c，ABC为正三角形必要性，若p在顶点处（不妨设p在A点），则p到三边距离之和即ha（当然与ha，hc相等，为定值）；若p点在边上（不妨设在BC上），则P到三边距离之和即p到b，c两边距离之和db+dc，SABC=SABP+SACP.故有aha=a(db+db+dc)，db+dc当定值ha；若P点在三角形内部则SABC=SABP+SBCP+SACP，从而有aha=a(da+db+dc)，即da+db+dc=ha.例3已知函数f(x)在（，+）上单调递增，a、bR，对命题“若a+b0，则f(a)+f(b)f(a)+f(b)，则a+b0”（1）写出其逆命题，并证明它的真假.（2）写出其逆否命题，并证明它的真假.（1）逆命题：“若f(a)+f(b) f(a)+f(b)，则a+b0”这是一个真命题，我们用反证法证明：假设a+b0，即ab，ba，而f(x)单调递增.故f(a)f(b)，f(b)f(a). 从而f(a)+f(b)f(a)+ f(b).与已知矛盾，说明假设错误.a+b0(2)逆否命题：“f(a)+f(b)f(b)+ f(a)，则a+b 0”这也是一个真命题，可类（1）用反证法证明.例4已知p：2，q：x22x+1m20（m0）又知非p是非q的必要条件，但不是充分条件，求取m的取值范围。先化简 p即x1，11，q即x1m，1+m非p：x1或x11，非q：x1 m或x1+m.非q非p，故，解得m10当m10时，1与1m不可能相等，故非p 非q.m 例5已知曲线C1：f(xy)=0，C2：g(x，y)=0，点M坐标为（a，b），则M（C1C2）是的什么条件？说明你的理由.M（C1C2）即M（C1C2）之否定，亦即之否定，也就是f(x，y)0或g(x，y)0，故M（C1C2） ，即MC1，且MC2，亦即M（C1C2）. M（C1C2）M（C1C2）是的必要条件，但不是充分条件.例6（0，），求证：2可作为一个三边长均为整数的直角三角形的一个内角的充要条件是tan是有理数.充分性.设tan= （m，nN+，m ，n互质，mn）则tan2=，作两直角边长分别为2mn，m2n2的直角三角形，则其斜边长为= m2+n2，该三角形有一内角为2，三角均为整数.证法二：tan=，故可作RtABC，AC=nk，BC=mk（kN*）（如图）作斜边AB的中垂线交BC于D，则AD=BD，ADC=2B=2，设CD=x，则AD=+x，整理可得x=，取k=2m时x即当整数，此时CD=x=m2n2，AC=2mn，AD=BD=2m2(m2n2)=m2+n2. 均为整数.必要性：设RtABC中，B=2，三边均为整数，延长CB到D，使BD=AB，则D=，且DC=DB+BC=AB+BC为整数，tan=Q证法二，RtABC中，ABC=2，三边长均为整数，BD为角平分线=.=Q巩固练习1（1）x2+54 （xR）（2）ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程.（3）若b24ac0，则不等式ax2+bx+c0的解集为R或，以上哪些是命题？哪些是真命题？2P为平面四边形ABCD内（含边界）任意一点“p到四边距离之和为定值”是“ABCD是正方形”的什么条件？证明你的结论.31，不可能是同一等差数列中的项4已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根.q：方程4x2+4(m2)x+1=0没有实数根.若p或q真而p且q假，求实数m的取值范围.5写出命题p：“若m0，则关于x的方程x2+xm=0有实数根”的逆命题，否命题和逆命题，并分别判断它的真假.6已知p：3，q：0，非p是非q的什么条件？证明你的结论。7求关于x的方程m2x2(m+1)x+2=0根的总和为2的充要条件.8已知当a成立时，4也成立，求实数a的取值范围。9若方程ax22x+1=0（a0）的小根x11，大根x2（1，3），求实数a的范围.10写出命题“圆的两相交弦若互相平分，则它们都是直径”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。11若命题“abcd”和“abef”均真，则“cd”是“ef”的（ ）（A）充分条件，但不是必要条件 （B）必要条件，但不是充分条件（C）充要条件 （D）既不是充分条件，也不是必要条件12（1）p：“数列是常数列”，q：“数列既是等差数列，又是等比数列”（2）p：“数列是等比数列”，q：“数列的前n项和Sn=”.（3）p：“点（n，Sn）（nN+）都在一条过原点的抛物线上”，q：“数列是等差数列”（Sn是的前n项之和）（4）已知：数列的前n项和Sn=pn+q（p0且p1），p：“q=1”q：数列是等比数列.以上四题中，p是q的充要条件者为_（标出相应题号即可）13已知两个关于x的一元二次方程mx24x+4=0和x24mx+4m2+(44m)9=0，求两方程的根都是整数的充要条件。参考答案 1x2+5=(x2+1)+44.故可判断（1）是一个假命题；当a0时，ax2+bx+c=0才是关于x的一元二次方程，今不知a的取值情况，无法判断其真假，故（2）不是命题；当a=0时，b24ac=b2不可能小于0，故由b24ac0知ax2+bx+c0是关于x的一元二次不等式，判别式0，解集必为R或，故（3）是命题，且是真命题。2必要条件，但不是充分条件，证明如下：设ABCD为正方形，当p为一顶点（不妨设是A）时，它到AB、AD距离为0，到CB、CD都相距a，和为2a；当p在边上（不妨设在AB上）时，它到AB距离为0，到BC、AD距离之和为a，到CD距离为a，和仍为定值2a，当p在正方形内部时，P到AB、CD距离之和为a，到AD、BC距离之和也为a，总和仍为定值2a； 另一方面，当ABCD虽不是正方形而是菱形时也有此性质，故不充分。3（反证法）假设1，是同一等差数列中的三项，则必存在m，nZ，mn，使1=md，1=nd（m，n均不当0，d0），于是=，整理成=，平方得=1+，左为无理数，右为有理数，矛盾，说明假设错误。1，不可能是同一等差数列中的项。4p 或q真而p且q假p，q一真一假当p真q假时，应满足 解得m3，当p假q真时，应满足 解得mm5逆命题：“若关于x的方程x2+xm=0有实数根，则m0”；否命题：“m0，则关于x的方程x2+xm=0没有实数根”；逆否命题：“若关于x的方程x2+xm=0没有实数根，则m0”. 当m0时，=1+4m0，方程x2+xm=0必有两个不等实根，故原命题及逆否命题是真命题。当方程x2+xm=0，有实数根时，=1+4m0，m，而不一定要0，故逆命题及否命题是假命题。6P：x1或x，非p：x1 q：xR， 非q：x非p与非q互相不能推出。非p既不是非q的充要条件，也不是非q的必要条件。7当m=0时，原方程即x=2，满足条件当m0时，=2，m=1或。但=(m+1)28m2，m=1及m=均使0。故充要条件是m=08即当x（2a，2+a）时，x25即x（，）一定成立，(2a，2+a)（，） a（0，2）9ax22x+1=0（a0）一根1，一根（1，3）的充要条件是a（，1）10逆命题：“圆的两直径互相平分”，否命题“圆的两条相交弦若不互相平分，则它们不都是直径”；逆否命题：“圆的两相交弦若不都是直径，则它们不相互平分”。圆的两相交弦互相平分，交点是它们的中点，则交点与圆心的连线与这两条弦都垂直，这与平面内过一点作已知直线的垂线只能作一条相矛盾，除非交点就是圆心，此时两弦都是直径。原命题和逆否命题都是正确的。两直径都过圆心，而圆心是任一直径的中点，故两直径互相平分。逆命题和逆否命题也都是正确的。11命题“abcd”之逆否命题为“cdab”，又有“abef”cdef，但由题设条件，由ef不能保证推出cd.“cd”是“ef”的充分条件，但不是必要条件，选（A）12常数列是公差为0的等差数列，非零常数列是公比为1的等比数列，但由“0”组成的常数列不是等比数列，故（1）中p是q的必要条件，但不是充分条件；当的公比不为1时，其前n项和Sn=，但q=1时，Sn=na1而不能写为上述形式，（2）中p是q的必要条件，但不是充分条件；等差数列前n项Sn=na1+d=n2+(a1)n，当d0时，（n，Sn）为过原点的抛物线y=x2+(a1)x上的点，但d=0时，则为直线y=a1x上的点，故（3）中p是q的充分条件，但不是必要条件；当n=1时，a1=S1=p+q当n2时，an=Sn=(p1)，说明从第二项起构成公比为P的等比数列，故从第一项就构成等比数列的充要条件是p+q=p1，即q=1，（4）中p是q的充要条件填13mx24x+4=0是一元二次方程 m0。另一方程为x24mx+4m24m5=0都要有实根 解得m，1两根为整数，故和与积也为整数. m为4之约数m=1或1 m=1时，第一个方程与x2+4x4=0根非整数，而m=1时，两方程均为整数根两方程根均为整数的充要条件是m=1六、附录例1ABab2RsinA2RsinBsinAsinB。p是q1 的充要条件。y=cosx在（0，）单调减，A，B（0，），故ABcosAcosB，p是q2充要条件y=cotx在（0，）单调减，A、B（0，），故ABcotAcotB，p是q3的充要条件；由900600，sin900cos600，及1350300，sin1350cos300知，p不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件。例2充要条件（证明见正文）例3四个命题都是真命题例4非p：2，即x1或x11非q：x22x+1m20，即x1m或x1+m.非qp： m10m10时，1与1m不可能相等，故非p 非q，m例5必要条件，但不是充分条件例6见正文