2021中考数学 第22讲 与圆有关的位置关系

第22讲 与圆有关的位置关系考点1 点与圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d.位置关系点在圆内点在圆上点在圆外数量(d与r)的大小关系 考点2 直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.位置关系相离相切相交公共点个数012公共点的名称无切点交点数量关系 考点3 圆的切线切线的判定(1)与圆有 公共点的直线是圆的切线(定义法).(2)到圆心的距离等于 的直线是圆的切线.(3)过半径外端点且 半径的直线是圆的切线.切线的性质(1)切线与圆只有 公共点.(2)切线到圆心的距离等于圆的 .(3)切线垂直于经过切点的 .切线长过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.切线长定理从圆外一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.考点4 三角形与圆确定圆的条件不在 直线的三个点确定一个圆.三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆， 的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形 的距离相等.三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫三角形的 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形 的距离相等. 1.判断一直线是否为圆的切线的方法：连半径，证垂直；作垂线，证半径. 2.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法： 若a,b是RtABC的两条直角边，c为斜边，则直角三角形的外接圆半径R=；直角三角形的内切圆半径r=.命题点1 点与圆、直线与圆的位置关系例1 (2013凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3).(1)画出ABC的外接圆P，并指出点D与P的位置关系；(2)若直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，判断直线l与P的位置关系.【思路点拨】(1)先画出ABC，然后确定P，通过计算PD的长度来判断点D与P的位置关系；(2)通过(1)判断点D在圆上，则只需说明垂直即可.【解答】方法归纳：判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系.1.若O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与O的位置关系是( ) A.点A在圆外 B.点A在圆上 C.点A在圆内 D.不能确定2.已知O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与O的位置关系的图形是( )3.在RtABC中，A=30，直角边AC=6 cm，以C为圆心，3 cm为半径作圆，则C与AB的位置关系是 .命题点2 切线的性质与判定例2 (2014天水)如图，点D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD.(1)判断直线CD和O的位置关系，并说明理由.(2)过点B作O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，O的半径是3，求BE的长.【思路点拨】(1)连接OD，根据圆周角定理求出DAB+DBA=90，从而得出CDA+ADO=90，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE=EB，在RtCBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.【解答】方法归纳：切线的性质与判定都与圆心和切点之间的线段有关，连接这条线段是常见的辅助线作法.1.(2014哈尔滨)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，连接OC交O于点D，连接BD，C=40.则ABD的度数是( ) A.30 B.25 C.20 D.152.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果APB=60，PA=8，那么弦AB的长是( ) A.4 B.8 C.4 D.83.下列说法中，正确的是( ) A.圆的切线垂直于经过切点的半径 B.垂直于切线的直线必经过切点 C.垂直于切线的直线必经过圆心 D.垂直于半径的直线是圆的切线4.(2014湘潭)如图，O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切O于A点，则PA= .5.(2013昭通)如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，点E在O外，EAC=B=60.(1)求D的度数；(2)求证：AE是O的切线.命题点3 三角形与圆的位置关系例3 在锐角ABC中，BC=5，sinA=. (1)如图1，求ABC的外接圆的直径；(2)如图2，点I为ABC的内心，若BA=BC，求AI的长.【思路点拨】(1)对于条件sinA=怎样运用应该设法构造直角三角形，运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答；(2)利用等腰三角形三线合一可知BI垂直于AC，再利用面积法解答.【解答】方法归纳：通常解决这类问题有两种方法：(1)构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.这道题目中没有直角三角形，因此应该采用第一种方法，构造直角三角形求解.1.如图，已知圆O是ABC的内切圆，且BAC=50，则BOC的度数是( ) A.90 B.100 C.115 D.1302.(2013永安质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，-3).则经画图操作可知：ABC的外心坐标应是( ) A.(0，0) B.(1，0) C.(-2，-1) D.(2，0)3.如图：O是ABC的外接圆，且半径为10，A=60，求弦BC的长.第1课时 基础训练1.(2014白银)已知O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与O的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断2.(2013青岛)直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( ) A.r6 B.r=6 C.r6 D.r63.(2014天津)如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心.若B=25，则C的大小等于( ) A.20 B.25 C.40 D.504.(2014崇明二模)在O中，圆心O在坐标原点上，半径为2，点P的坐标为(4，5)，那么点P与O的位置关系是( ) A.点P在O外 B.点P在O上 C.点P在O内 D.不能确定5.如图，在坐标平面上，RtABC为直角三角形，ABC=90，AB垂直x轴，M为RtABC的外心.若A点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，则B点坐标为( ) A.(3，-1) B.(3，-2) C.(3，-3) D.(3，-4)6.(2014淄博)如图，直线AB与O相切于点A，弦CDAB，E，F为圆上的两点，且CDE=ADF.若O的半径为，CD=4，则弦EF的长为( ) A.4 B. C.5 D.67.在平面内，O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与O的位置关系是 .8.(2014重庆B卷)如图，C为O外一点，CA与O相切，切点为A，AB为O的直径，连接CB.若O的半径为2，ABC=60，则BC= .9.如图，点A、B、D在O上，A=25，OD的延长线交直线BC于点C，且OCB=40，直线BC与O的位置关系为 .10.如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，3)、B(-2，-2)、C(4，-2)，则ABC外接圆半径的长度为 .11.如图，P的半径为2，圆心P在函数y(x0)的图象上运动，当P与x轴相切时，点P的坐标为 .12.如图，O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB=，OA=4，将直线l1绕点A逆时针旋转30后得到的直线l2，刚好与O相切于点C，则OC= .13.(2014牡丹江)如图，已知O中直径AB与弦AC的夹角为30，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，OD=30 cm.求：直径AB的长.14.(2014盐城)如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于点D，且D=2CAD.(1)求D的度数；(2)若CD=2，求BD的长.15.(2014毕节)如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于点D，连接CD.(1)求证：A=BCD；(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由.第2课时 能力训练1.(2014益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为(-3，0)，将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为( ) A.1 B.1或5 C.3 D.52.如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E，过劣弧(不包括端点D,E)上任一点作O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为( ) A.r B.r C.2r D.r3.(2014宜宾)已知O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m=0；若d=5，则m=1；若1d5，则m=3；若d=1，则m=2；若d1，则m=4.其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.54.(2014玉林)如图，直线MN与O相切于点M，ME=EF，且EFMN，则cosE= .5.如图，在ABC中，BC=3 cm，BAC=60，那么ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖.6.(2014宜宾)如图，已知AB为O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若ABC=30，则AM= .7.如图所示，已知点A从点(1，0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以点O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C都在第一象限内，且AOC=60，若以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t= .8.(2014河南)如图，CD是O的直径，且CD=2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若APO=30，试证明ACP是等腰三角形；(2)填空：当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；当DP= cm时，四边形AOBD是正方形.9.(2014德州)如图，O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D、E分别是ACB的平分线与O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PCPE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与O的位置关系，并说明理由.10.如图，点B在y轴上，BAx轴，点A的坐标为(5.5，4)，A的半径为2.现有点P从点B出发沿射线BA运动.(1)当点P在A上时，请直接写出它的坐标；(2)设点P的横坐标为x，连接OP，试探究射线OP与A的位置关系，并说明理由.参考答案考点解读dr d=r dr dr d=r dr 唯一 半径 垂直于 一个半径 半径 切点 两 相等 平分 同一 外接圆 外心 三个顶点 内切圆 内心 三边各个击破例1 (1)所画的P如图所示，由图知P的半径为.连接PD.PD=12+22=，点D在P上.(2)直线l与P相切.理由：连接PE.直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5.PE2=PD2+DE2.PDE是直角三角形，且PDE=90.PDl.直线l与P相切.题组训练 1.C 2.B 3.相切例2 (1)直线CD和O的位置关系是相切.理由是：连接OD.AB是O的直径，ADB=90，DAB+DBA=90.CDA=CBD，DAB+CDA=90.OD=OA，DAB=ADO.CDA+ADO=90，即ODCE.直线CD是O的切线，即直线CD和O的位置关系是相切.(2)AC=2，O的半径是3，OC=2+3=5，OD=3.在RtCDO中，由勾股定理得CD=4.CE切O于D，EB切O于B，DE=EB，CBE=90.设DE=EB=x，在RtCBE中，由勾股定理，得CE2=BE2+BC2，则(4+x)2=x2+(5+3)2，解得x=6.即BE=6.题组训练 1.B 2.B 3.A 4.45.(1)B与D都是弧AC所对的圆周角，ADC=B=60.(2)证明：AB是O的直径，ACB=90，BAC=30.BAE=BAC+EAC=30+60=90，即BAAE.AE是O的切线.例3 (1)作ABC的外接圆的直径CD，连接BD,则CBD=90，D=A，=sinD=sinA=.BC=5，CD=，即ABC的外接圆的直径为254.(2)连接BI并延长交AC于点H，作IEAB于点E.点I为ABC的内心，BI平分ABC.AB=BC，BHAC.IH=IE.在RtABH中，BH=ABsinBAH=4，AH=3.SABI+SAHI=SABH，+=.即+=.IH=IE，IH=.在RtAHI中，由勾股定理，得AI=.题组训练 1.C 2.C3.过O作ODBC于D，则BOD=COD=BOC.又BOC=2A，BOD=A=60.在RtBOD中，OB=10，BOD=60，BD=OB=5，BC=2BD=10.整合集训第1课时 基础训练1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.点P在O内 8.8 9.相切 10. 11.(3，2) 12.213.A=30，OC=OA，ACO=A=30，COD=60.DC切O于C，OCD=90，D=30.OD=30 cm，OC=OD=15 cm，AB=2OC=30 cm.14.(1)OA=OC，A=ACO，COD=A+ACO=2A.D=2CAD，D=COD.PD切O于C，OCD=90.D=COD=45.(2)D=COD，CD=2，OC=OB=CD=2.在RtOCD中，由勾股定理，得22+22=(2+BD)2，BD=-2.15.(1)证明：AC为直径，ADC=90，A+ACD=90.ACB=90，BCD+ACD=90，A=BCD.(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与O相切.理由：连接DO.DO=CO，ODC=OCD.DM=CM，DCM=CDM.OCD+DCM=90，ODC+CDM=90，直线DM与O相切.第2课时 能力训练1.B 2.C 3.C 4. 5.6. 提示：连接OM，OC，则AOC=2ABC=60，AOM=COM=AOC=30，在RtAOM中，OA=AB=1，AOM=30，tan30=，即=，解得AM=.7. 提示：由题意可知，当以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切时，如图所示.连接PC，作PDOC于点D，则POC=90-AOC=90-60=30.OD=OP=4=2.OC=2OD=4.OA=OC=4.则t=.8.(1)证明：连接OA，AC.PA是O的切线，OAP=90.在RtAOP中，AOP=90-APO=90-30=60，ACP=30.APO=30，ACP=APO，AC=AP，即ACP是等腰三角形.(2)1;2-1.提示：要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，AOP=60，OP=2OA，DP=OD=CD=1.要使四边形AOBD是正方形，则必须AOP=45，OA=PA=1，则OP=，DP=OP-1=-1.9.(1)连接BD.AB是直径，ACBADB90.在RtABC中，AC=8.CD平分ACB，ADBD.在RtABD中，AD2+BD2AB2，AD=BD5，AC8 cm，AD5 cm.(2)直线PC与O相切.理由：方法一：连接OC，OD.AD=BD，ODAB，DOE90，ODE+OED90.PCPE，PCEPEC，OEDPECPCE.OCOD，OCDODC，OCPPCE+OCDOED+ODE90，即OCPC.直线PC与O相切.方法二：连接OC.OCOA，CAOOCA.PCPE，PCEPEC.PECCAE+ACE，PCB+ECBCAE+ACE.CD平分ACB，ACEECB,PCBCAE,PCBACO.ACB90，OCPOCB+PCBACO+OCB90，即OCPC，直线PC与O相切.10.(1)点P的坐标为(3.5，4)或(7.5，4)；(2)过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AMOM，由题意可知：OM与BA的交点为P，BP=x，当点P在点A的左侧时，x5.5，点A的坐标为(5.5，4)，此时A过P的切线为OM1,M1为切点，如图.AP1=5.5-x，OB=4，A的半径为2，AM1=2，BAx轴，OBP1=90，AM1P1=OBP1，AP1M1=OP1B，OBP1AM1P1，=.=，即OP1=11-2x.在RtOBP1中，(11-2x)2=42+x2，解得x=3或x=(舍去)；当点P在点A的右侧时，x5.5，同理可解得x=3(舍去)或x=353.当x=3或时，直线OP与圆A相切；当0x3或x时相离；当3x直线与圆相交.16