2021中考数学 滚动小专题五 三角形的有关计算与证明

三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例 (2014重庆B卷)如图，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D.CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACFCBG.求证：(1)AFCG；(2)CF2DE.【思路点拨】(1)要证明AFCG，可以利用“ASA”证明ACFCBG来得到；(2)要证明CF2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用AEDCEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.【解答】证明：(1)ACB90，CG平分ACB，ACBC.BCGCAB45.又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA),CFBG，AFCG.(2)延长CG交AB于点H.ACBC，CG平分ACB，CHAB，H为AB中点.又ADAB，CHAD,G为BD中点，DEGC.E为AC中点，AEEC.又AEDCEG，AEDCEG(AAS),DEEG,DG2DE,BGDG2DE.由(1)得CFBG，CF2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.(2014长沙)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：AOECOD；(2)若OCD=30，AB=,求AOC的面积.2.(2014滨州)如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30到DC处，连接AC，BC，CC.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在ABC中，ABC=45,CDAB,BEAC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，ABE=CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2.4.在等边ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；(2)当BEAE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明. 5.(2014重庆A卷)如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC.(1)求证：BE=CF；(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：MEBC；DE=DN.参考答案1.(1)证明：由折叠的性质可得：AEAB,EB90.四边形ABCD是矩形，CDAB,D90.AECD，ED90.在AOE和COD中，AOECOD(AAS).(2)在RtOCD中，OCD30，OC=2OD.ABCD，OD2+CD2=OC2，OD2+()2=4OD2,解得OD1.OC2.由折叠知：BCAACO.ADBC，OACBCA，OACACO，OAOC2，SAOC=OACD=2=.2.图中的所有的等腰三角形有：DCC，DAC，ABC，BCC，理由如下：正方形ABCD，CD=AD=AB=BC，ADC=DAB=ABC=BCD=90.边DC绕D点顺时针旋转30到DC处，DC=DC=AD=AB，DCC=DCC= (180-30)=75，即DCC是等腰三角形.ADC=90，CDC=30，ADC=60.DC=AD，DAC为等边三角形.AC=AD=AB，DAC=DCA=60,ABC为等腰三角形，BAC=90-60=30,ABC=ACB=(180-30)=75,CBC=90-75=15，CCB=90-75=15,CBC=CCB,BCC是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：BDC=BEC=CDA=90,ABC=45,BCD=45=ABC,DB=DC.又BHD=CHE,DBH=DCA.DBHDCA,BH=AC.(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.F为BC中点，DB=DC，DF垂直平分BC,BG=GC.BG2-GE2=EC2.ABE=CBE,CEB=AEB,BE=BE,BCEBAE.EC=EA,BG2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图1，在等边ABC中，ABC=ACB=60.BE=AE，ACE=ECB=30.又CE=DE，D=ECD=30.DEB=30，BE=BD，BD=AE.(2)BD=AE还成立.证明：如图2，过点E作EFAC交BC于F，易证EFB为等边三角形，EF=FB=BE.EFB=EBF.CFE=EBD.CE=DE，ECD=D.ECFEDB，CF=BD.AB=BC，AB-BE=BC-BF，即AE=CF.AE=BD.5.证明：(1)BAC=90，AB=AC，B=ACB=45.FCBC，BCF=90.ACF=90-45=45，B=ACF.BAC=90，FAAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF.在ABE和ACF中，ABEACF(ASA).BE=CF.(2)如图，过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形.HE=BH，BEH=45.AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE.BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC.由题意，得CAE=45+45=67.5，CEA=180-45-67.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE.在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM(HL)，ACM=ECM=45=22.5.又DAE=45=22.5，DAE=ECM.BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC.在ADE和CDN中，ADECDN(ASA)，DE=DN.6